برهان. رفت: فرض کنید (∈ ω(x,f. طبق تعریف مجموعهی نقاطω -حدی، دنبالهی {nk} وجود داردبهطوریکهfnk(x→ یا بهطور معادلی نقطه حدی برای دنبالهی  است. بنابراین م توانگفت که برای هر،∈ N ی نقطه حدی مجموعهی {fi(x) : i > n} است. یعن
∈ N ; ∈ {fi(x) : i > n}پس
.
برگشت: فرض کنید  دراینصورت
.
م توان نتیجه گرفت کهی نقطه حدی مجموعهی {۰fi(x) : i > n}، برای ی ۰n ثابت است. زیرا اگری
نقطه حدی از {۰fi(x) : i > n} نبـاشد، پس باید {۰∈ {fi(x) : i > n. بنابراین یوجود دارد که =(fm(x. اکنون اگرn > m در نظر ب یریم، چونی نقطه حدی از {۰fi(x) : i > n} نیست، لذا م توان نتیجه
گرفت کهی نقطه حدی مجموعه {fi(x) : i > n} نیز نم باشد، زیرا {۰fi(x) : i > n} ⊆ {fi(x) : i > n}
از طرف چونm < n ، پس {fm(x) ∈ {/ fi(x) : i > n بنابراین {y /∈ {fi(x) : i > n و این عبارت با فرضتناقض دارد، لذا ح م ثابت م شود.
قضیه ١.١.٢١. فرض کنیدf → X ی ن اشت پیوسته روی فضای متری فشردهیX باشد. برای هر عضودلخواهx ∈ X ، اگر (ω(x,f متناه باشد، آن اه مدار هر عضو از (ω(x,f مدار ی نقطهی تناوب است.
برهان. فرض م کنیمی زیرمجموعه​ی سره و غیرته از (ω(x,f باشد. قرار م دهیم ∅ ≠F′ = ω(x,f) .هن ام که (ω(x,f متناه است، پس همسای هایوازو ′F، به ترتیب، موجود است بهطوریکه دارایخواص زیر م باشند
⊆ U, F′ ⊆ V, U ∩ = ∅.
.ω(x,f) ⊆ ∪ پس،ω(x,f) = ∪ F′ چون
بنابراین م توانیم نتیجه ب یریم که برایهای به قدر کاف بزرگfn(x) ∈ یاfn(x) ∈ . یعن
∃ Ns.t n > N, fn(x) ∈ ∨ fn(x) ∈ V.
پس م توانیم دنبالهی {ni} را طوری بسازیم کهfni(x) ∈ وfni+1(x) ∈ . چونفشرده م باشد، پسدنبالهی {(fni(x} دردارای ی زیر دنبالهی هم را به نقطهای مانندمتعلق بهاست. چون ی زیر دنباله از
{(fni(x} بههم راست، پس طبق تعریف نقاطω -حدی باید (∈ ω(x,f. یعن
∃{nij} ⊆ {ni, fnij(x) → ∈ F.
با توجه به پیوستداریم
fnij+1(x) = f(fnij(x) ) → f(y) ∈ F′ ⊆ V.
در حال که م دانیمfnij(x) ∈ . در نتیجه ∅ ≠ ′f(F) ∩ F . یعن مجموعهی (ω(x,f دارای زیر مجموعهیناته و سره که تحتپایا باشد، نیست.
فرض کنید (∈ ω(x,f باشد. چون (ω(x,f پیشرو پایا م باشد و مدار پیشرو ی نقطه نیز پیشرو پایاست.
یعن
f(ω(x,f) ) ⊆ ω(x,f),
z , f (O+(z,f)) ⊆ O+(z,f).
پس داریم (∈ O+(y,f) ⊆ ω(x,f. که نشان م دهد (O+(y,f ی مجموعهی پایا و ناته از (ω(x,f است.
چون (ω(x,f دارای زیر مجموعهی سره و غیر ته و پایا نم باشد، پس
O+(y,f) |=| ω(x,f) |.
یعن مدار نقطهیی مدار تناوب است.
تعریف ١.١.٣١. فرض کنید→ ی ن اشت پیوسته روی فضای متریباشد. نقطهی∈ رای نقطهی بازگشت ازگوییم، هرگاه (∈ ω(x,f. مجموعهی نقاط بازگشترا با (R(f نمایش م دهیم:
R(f) = {∈ ∈ ω(x,f)}
.
گزاره ١.١.١۴. فرض م کنیمf → X ی ن اشت پیوسته روی فضای متری فشردهX باشد. مجموعهینقاط بازگشت ن اشتf ، پیشرو پایا م باشد. یعن
f(R(f)) ⊆ R(f).
برهان. فرض م کنیم (∈ R(f. در اینصورت (∈ ω(x,f. بنابراین دنبالهی {nk} وجود دارد بهطوریکه
fnk(x) → x، با توجه به پیوستداریم
fnk(f(x)) = fnk+1(x) → f(x).
بنابراین (f(x) ∈ ω(f(x),f م باشد.یعن (f(x ی نقطه بازگشت ازاست و
f(x) ∈ R(f).

این نوشته را هم بخوانید :   اندازه گیری دمای پلاسما به روش پراکندگی تامسون۹۳- قسمت ۲۱
برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت  fotka.ir  مراجعه نمایید.