همیومورفیسم فراکتالی برای سیستم های تکرار توابع- قسمت ۹

اگر ۱=| (∗f′(x | باشد، در اینصورت نقطهی ∗x را نقطهی ثابت حاشیهای یا نیمهپایدار م گویند.
۴) نقاط که در آنها شرط ۰=| (∗f′(x | برقرار باشد، نقاط فوقپایدار نامیده م شوند.
در سیستمهای دینامی تعاریف مربوط به نقاط جاذب و دافع سیستم، بهصورت زیر ارائه م گردد:
تعریف ٢.٢.٢. فرض م کنیم (X,f) ی سیستم دینامی باشد. نقطهیرا جاذب م گوییم هرگاه ی همسایU ازموجود باشد بهطوریکه
تعریف ٢.٢.٣. فرض م کنیم (X,f) ی سیستم دینامی باشد. نقطهیرا دافع م گوییم هرگاه ی همسای
U ازموجود باشد بهطوریکه
.
مثال ٢.٢.۴. ن اشت لجستی [۱۲] . −  با فرض ۲µ > را در نظر ب یرید. نمودار این ن اشترا با فرض تقاطع با محوردر ش ل ۶.٢ نمایش داده شده است.
نقاط ثابت تابع، نقاط هستند که منحن ((x با خطتقاطع دارد. بنابراین داریم
f
,
از طرف
٢.٢. بررس هندس نقاط جاذب و دافع ی سیستم دینامی ٢٧
ش ل ٢.۶: نمودار ن اشت لجستی .
با توجه به آنچه در تبصره ١.٢.٢ گفته شد، در نقطه ثابت ۰= ∗x داریم،  . چون ۲µ > پس۱ >| (0) ′fµ |. پس نقطهی ۰= ∗x دافع است.
در نقطهی  هن ام که ۳< µ < ۲، ی نقطهجاذب برای تابعf
م باشد.
مثال ٢.٢.۵. ن اشت ماتریس زیر را در نظر م گیریم
: R→ R,
A(i,j) 7→ Aij,
با توجه به مقادیر ویژه این ماتریس، م توان در خصوص انواع نقاط ثابت این ن اشت بحث نمود. فرض م کنیمτ رد ماتریسو ∆ دترمینان آن باشد. م دانیم که مقادیر ویژه ماتریساز رابطهی زیر محاسبه م گردد
,
از طرف با مفروض داشتن مقادیر ویژه داریم
∆ = λ۱λ۲, τ λ۱ λ۲.
اکنون با توجه به دترمینان ماتریس و مقادیر ویژه آن، حالتهای زیر رخ م دهد
اگر ۰ < ∆ باشد در اینصورت مقادیر ویژه ماتریس، حقیق و دارای علامت مخالف هم م باشند < ۱λ)
< λ ۰ بنابراین طبق آنچه در حالت اول ٢.١.٢ گفته شد، نقطهی ثابت ماتریسی نقطهی زین است. و سایر
نقاط ماتریس به نقطه ی ثابت جذب م شوند. اگر λ۲ ۰ < λ)، در اینصورت سایر نقاط ماتریس از نقطهیثابت دور شده و آنرا دافع م گوییم.
اگر ۰ > ∆ باشد، آن اه مقادیر ویژه ماتریس، حقیق و دارای علامت ی سان، یا مختلط و هم علامت،م باشند بنابراین طبق آنچه در حالتهای دوم، سوم و چهارم ٢.١.٢ گفته شد، نقطهی ثابت ماتریسم تواندی گره پایدار یا، زمان که مقادیر ویژه مختلط هستند، ی نقطهی مرکزی و یا ی کانون پایدار(مارپیچ) باشد.
اگر ۰ < ۴∆ − ۲τ باشد، نقاط با حرکت مارپیچ به نقطهی ثابت جذب م شوند.
اگر ۰ > ۴∆ − ۲τ باشد، گره پایدار رخ م دهد.
اگر ۴∆ = ۰ − ۲τ باشد، سهم فوق جداکنندهای بین گرههای پایدار و کانونهای پایدار است. گرههای ستارهایو گرههای تبه ون روی سهم قرار م گیرند.
پایداری گرهها و کانونها به مقدارτ بست دارد. هن ام که ۰τ < است، یعن هردو مقدار ویژهی ماتریسقسمتهای حقیق منف دارند، نقطهی ثابت پایدار است. هن ام که ۰τ > است، کانونها و گرهها ناپایدارند.
نقطهی مرکزی پایدار زمان که ۰=τ است، رخ م دهد که در این حالت مقادیر ویژه تنها شامل قسمت موهوممحض هستند.
اگر ۰=∆ باشد، آن اه حداقل ی از مقادیر ویژه ماتریس، برابر صفر است. در این حالت مبدأ ی نقطهثابت منفرد نم باشد. همچنین اگر ماتریس ۰=باشد، ی خط کامل یا ی صفحه از نقاط ثابت داریم.
ش ل ٢.٧: نمودار ماتریس.
نمودار فوق نشان م دهد که عمدهترین انواع نقاط ثابت عبارتند از: نقاط زین ، گرهها و نقاط مارپیچ که این نقاطدر ناحیه بزرگ از صفحه (∆) واقع شدهاند. نقاط مرکزی، ستارهها و گرههای تبه ون و نقاط ثابت نامنفرد مواردحاشیهای هستند که در طول منحن های واقع در صفحه (∆) قرار م گیرند. از بین این موارد حاشیهای ، نقاطمرکزی از اهمیت ویژهای برخوردارند.
فصل ٣

برای دانلود متن کامل این پایان نامه به سایت  pipaf.ir  مراجعه نمایید.

سیستمهای دینامی ت رار توابع انقباض