همیومورفیسم فراکتالی برای سیستم های تکرار توابع- قسمت ۸

١.١.٢ نتیجه م گیریم که جواب مسأله اولیه (٧.٢) با شرط اولیه ۰x(0) = x بهصورت زیر است
،x  λt
اکنون حالتهای منحن های فازی را که از این جوابها نتیجه م شود، بررس م کنیمحالت اول که در آنλ < ۰ < µ .
در این حالت تصویر فاز دست اه خط (٧.٢) با ش ل زیر نشان داده شده است.
ش ل ٢.١: ی زین در مبدأ.
گفته م شود که دست اه (٧.٢) در این حالت ی نقطه زین در مبدأ دارد. اگرµ < ۰ < λ ، جهت پی انها درش ل فوق مع وس م شود. در خصوص دست اه خط (۶.٢) م توان گفت که اگردو مقدار ویژهی حقیقمثبت داشته باشد،< λ < µ ۰ تصویر فاز آن با تصویر فاز نشان داده شده در ش ل فوق بهطور خط معادل است.
بهعبارت دی ر با ی تبدیل خط مختصات از ش ل ١.٢ حاصل م شود. چهار مسیر غیر صفر یا منحن های جوابرا که وقت ∞±→به نقطه ساکن در مبدأ نزدی م شوند، جدا کنندههای دست اه م نامیم.
حالت دوم:  که در آن  .
در این حالت تصویر فاز دست اه خط (٧.٢) با ش ل زیر نشان داده شده است. در تمام این حالتها به مبدأ، گرهپایدار م گوییم.
ش ل ٢.٢: گره پایدار در مبدأ.
اگر در دور اولλ µ ، به آن گره ستارهای(سره) و در دو حالت دی ر به آن گره ناسره(در حالت که ۰λ < آنرا گره تبه ون) م گوییم. اگر< µ ≤ λ ۰ یا ۰λ > (در حالت٢)، جهت پی انها در ش ل مع وس شده و بهمبدأ، گره ناپایدار م گوییم. در خصوص دست اه خط (۶.٢) م توان گفت که اگردو مقدار ویژهی منف داشته
٢۴
باشد، منحن فاز آن با تصویر فاز نشان داده شده در ش ل فوق بهطور خط معادل است. پایداری گره با توجه بهعلامت مقادیر ویژه تعیین م شود. اگر ۰λ ≤ µ < ، گره پایدار است و اگر ۰λ ≥ µ > ، گره ناپایدار است. تماممسیرهای ش ل٢.٢ در امتداد ی خط مماس به نقطهی ساکن مبدأ میل م کنند وقت کهبه ∞ نزدی م شود.
حالت سوم:  که در آن ۰a < .
در این حالت تصویر فاز دست اه خط (٧.٢) با ش ل زیر نشان داده شده است. در تمام این حالتها به مبدأ،کانون پایدار م گوییم.
ش ل ٢.٣: کانون پایدار در مبدأ.
اگر ۰a > ، با افزایش، مسیر منحن ها بهصورت مارپیچ از مبدأ دور م شود و مبدأ را کانون ناپایدار م نامند. درخصوص دست اه خط (۶.٢) م توان گفت که اگردو مقدار ویژهی مختلط مزدوج با قسمت حقیق غیر صفرداشته باشد یعن± ib ، در حالت ۰a < منحن های فاز آن با تصاویر فاز نشان داده شده در ش ل فوق بهطورخط معادل خواهد بود. مسیرهای ش ل٣.٢ با خطوط مماس خوش تعریف، به مبدأ میل نم کنند. بهعبارت دی ر،
زاویهای که بردار (x(t با محور ۱x م سازد ((θ(t) وقت ∞→به ثابت ۰θ میل نم کند بل ه در این حالت، وقت∞ →θ(t) |→ ∞ ،| و ۰ →| (x(t |.
حالت چهارم:  .
در این حالت تصویر فاز دست اه خط (٧.٢) با ش ل زیر نشان داده شده است. در این حالت گفته م شود کهدست اه در مبدأ ی مرکز دارد.
ش ل ٢.۴: ی مرکز در مبدأ.
در خصوص دست اه خط (۶.٢) م توان گفت که اگردو مقدار ویژهی مختلط و مزدوج موهوم محض داشته٢.٢. بررس هندس نقاط جاذب و دافع ی سیستم دینامی ۵٢باشد یعنib ±، منحن فاز آن با تصاویر فاز نشان داده شده در ش ل فوق بهطور خط معادل خواهد بود. مسیرهایش ل۴.٢ روی دایرههای قرار دارند که در آنها | (x(t | برابر با مقداری ثابت است. در حالت کل ، منحن هایدست اه (۶.٢) برای هر∈ R در≤| x(t) |≤ صدق م کند. در این حالت، زاویهی (θ(t همچنین در∞→| (θ(t | با ∞→صدق م کند. اگر ی یا دو مقدار ویژهیبرابر صفر باشد بهعبارت دی ر اگر
۰=detA به مبدأ، نقطهی ساکن منحط دست اه (۶.٢) م گوییم.
مثال ٢.١.٠١. (دست اه خط که در مبدأ ی مرکز دارد) دست اه خط از آنجاکهماتریسمقادیر ویژهای بهصورتλ ±۲دارد، مبدأ را به عنوان مرکز دارد. طبق قضیه ٩.١.٢ ماتریسمع وسپذیر  با مع وس  ، ماتریسرا به ماتریس زیر تبدیل م کند
 .
بنابراین طبق آنچه در بخش ١.١.٢ اشاره شد، جواب دست اه خطx˙ = Aبهصورت زیر است
x
که در آن (۰)x و بنابراین داریم
که در نتیجه جوابهای این دست اه برای هر∈ R در رابطه زیر صدق م کنند
.
بهعبارت دی ر جوابهای این دست اه بر روی بیض های رسم شده در ش ل زیر قرار دارند.
ش ل ٢.۵: ش ل هندس مثال.

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت  fotka.ir  مراجعه نمایید.

٢.٢ بررس هندس نقاط جاذب و دافع ی سیستم دینامی

بررس هندس نحوه قرار گرفتن نقاط جاذب و دافع ی سیستم و چ ون نزدی یا دور شدن نقاط دی ر سیستمبه این نقاط، از اهمیت ویژهای برخوردار است. در این بخش با بهرهگیری از مبحث مربوط به رسم منحن های فازی۶٢
ی دست اه معادلات دیفرانسیل خط به تشریح نمودارها م پردازیم. از طرف چون نقاط ثابت تابع، در بررسرفتار ن اشت از اهمیت خاص برخوردار است و براساس آنها م توان نحوهی تحول سیستم را درک کرد لذا باتعیین نقاط ثابت ن اشت م توان بهراحت جاذبها و دافعهای آنرا محاسبه نمود. در این بخش عمدهی مطالب از[۶١] است.
تبصره ٢.٢.١. فرض م کنیم ∗x نقطهی ثابت ن اشتf و تابعf مشتقپذیر باشد. در اینصورت نقاط ثابت براساس پایداری آنها به چهار گروه تقسیم م شوند:
اگر ۱ <| (∗f′(x | باشد، در اینصورت نقطهی ∗x از پایداری خط برخوردار است. این نقاط را نقاط جاذب
[۱۰] م نامند.
اگر ۱ >| (∗f′(x | باشد، در اینصورت نقطهی ∗x ناپایدار است. به نقاط ثابت ناپایدار، نقاط دافع [۱۱] نیزم گویند.