دارای جواب ی انه برای هر∈ R به ش ل زیر است.(٣.٢) .۰x(t) = eAtx
به شباهت موجود بین جواب (٣.٢) بالا و جواب ۰x(t) = eatx برای معادله دیفرانسیل عادی مرتبه اولx˙ = ax
با شرط اولیهی ۰x(0) = x توجه کنید.
قضیه ٢.١.٨. (قضیه اساس دست اههای خط 🙂 فرض کنیدA ی ماتریسn × n باشد در اینصورت برای هرx∈ Rn، مسألهی مقدار اولیه
xx(۴.٢)
ی جواب ی انه دارد که بهصورت زیر داده م شود
x(t) = eAtx(۵.٢)
برهان. با توجه به لم ۶.١.٢ اگر ۰x(t) = eAtx، آن اه برای هر∈ R داریم
x′(t) = d eAtxAeAtxAx(t),
dt
همچنین ۰x(0) = Ixx. در نتیجه ۰x(t) = eAtx ی جواب مسأله است. حال برای آنکه ببینیم این تنهاجواب مسأله است، فرض م کنیم ۰x(t) = eAtx ی جواب مسأله مقدار اولیه (۴.٢) باشد قرار م دهیم
y(t) = eAtx(t),
سپس با توجه به لم ۶.١.٢ و این موضوع که (x(t جواب (۴.٢) است برای هر∈ R داریم
y′(t) = −AeAtx(t) + eAtx′(t) = −AeAtx(t) + eAtAx(t) = 0.
این مطلب با توجه به اینکهeAt وتعویضپذیرند، حاصل شده است. در نتیجه (y(t ثابت است. با جای زین۰=معلوم م شود که ۰y(t) = x و بنابراین هر جواب مسأله مقدار اولیه (۴.٢) به ش ل =(x(t) = eAty(t
۰eAtx است و این، اثبات قضیه را کامل م کند. قضیه ٢.١.٩. اگرλ۱۲,…,λn مقادیر ویژه حقیق و متمایز ماتریسA باشند، آن اه بردارهای ویژه متناظر با این
مقادیر ویژه، یعن {v1,v2,…,vn} برای فضایRتش یل ی پایه م دهند. ماتریس [= [v1,v2,…,vn کهستونهای آن بردارهای ویژهیA هستند مع وسپذیر بوده و داریم
P۱AP diag[λ۱۲,…,λn].
برهان. برای اثبات به [١٢] مراجعه شود.
حال برای تبدیل دست اه خطx˙ = Aبه ی دست اه جدا شده، جهت حل دست اه مذکور، از قضیه ٩.١.٢
بهره م گیریم. برای این منظور از تبدیل مختصاتP۱استفاده م کنیم. بنابراین
,y˙ = P۱x˙ = P۱AP۱APdiag[λ۱۲,…,λn]yو این دست اه دارای ماتریس قطری است لذا جواب آن بهصورت زیر است
y(t) = ediag[λ۱۲,…,λn]ty(0).
از طرف چون (۰)y(0) = P۱x و (x(t) = Py(t بنابراین جواب دست اه بهصورت زیر است
x(t) = PE(t)P۱x(0),
که در آن (E(t ماتریس قطری زیر است.
E(t) = diag[eλ۱t,…,eλnt].
بنابراین با توجه به فرضیات قضیه ٩.١.٢ ، جواب دست اه خط .۰ ,xx˙(۰) =Axx } بهصورت زیر است
x(t) = PE(t)P۱x(0),
که در آن (E(t ماتریس قطری زیر است.
E(t) = diag[eλ۱t,…,eλnt].
طبق آنچه بیان گردید همواره م توان ماتریس وارونپذیر(که ستونهای آن بردارهای ویژه تعمیمیافته ماتریسهستند) را طوری محاسبه کرد که
P۱AP.
م دانیم که محاسبه ماتریسeAt معادل با حل دست اه خطx˙ = Aاست. در اینصورت داریم
eAt PeBtP−۱.
از طرف صورت ظاهری ماتریسارتباط مستقیم با مقادیر ویژه ماتریسدارد. از این منظر ۴ حالت مختلفمم ن را در حالت کهماتریس ۲ × ۲ است، مورد بحث قرار م دهیم.

این نوشته را هم بخوانید :   همیومورفیسم فراکتالی برای سیستم های تکرار توابع- قسمت ۹

منبع فایل کامل این پایان نامه این سایت pipaf.ir است