(X,f) را م توانیم با ن اشت زیر نمایش دهیم
φ : N0 × X → nX ;N0 = N ∪ {۰}
(n,x) 7→ f (x)که در شرایط زیر صادق است
١. برای هرφ(۰,x) = x ،x ∈ X ، و
٢.برای هرx ∈ X و ۰φ(s,φ(t,x)) = φ(s + t,x) ،s,t ∈ N.اگرf مع وسپذیر باشد م توانیم به جای ۰N ازZ استفاده کنیم، یعن
φ : Z × X → Xn
(n,x) 7→ f (x)اکنون تعریف برای ی سیستم دینامی پیوسته ارائه م کنیم.
تعریف ٢.١.١. فرض کنیدX ی فضای توپولوژی باشد، سیستم دینامی پیوسته عبارت است از ن اشت پیوسته
φ : R × X → X,n
(n,x) 7→ φ (x)که در شرایط زیر صادق باشد
١. برای هرφ(۰,x) = x ،x ∈ X ، و
.φ(s,φ(t,x)) = φ(s + t,x) ،s,t ∈ R وx ∈ X برای هر.٢
به زبان ریاض ، دست اه دینامی تابع به ش ل (φ(t,X است که برای هرt ∈ R و هرx ∈ X تعریف م شودو توصیف م کند که چ ونه نقاطx ∈ X نسبت به زمان حرکت م کنند.
تعریف ٢.١.٢. منظور از ن اشتCr ، ن اشت است که همه مشتقات آن تا مرتبهr موجود و پیوسته باشند.
ن اشتهای که از هر مرتبه مشتقپذیرند را با ∞C نمایش م دهیم.
تعریف ٢.١.٣. فرض کنیدE ی زیرمجموعه باز ازRn باشد. قرار م دهیمX = E . اگرφ ی ن اشتCr رویE باشد، آن اه سیستم دینامی را از کلاسCr گوییم.
تبصره ٢.١.۴. اکنون فضای برداری (L(Rn تش یل شده توسط تمام ن اشتهای خط ازRn بهRn با نرم معمول.{۱ = ∥A ∈ L(Rn), ∥A∥ = sup{∥Av∥ : ∥v∀
را در نظر ب یرید. بدیه است که برای ی عدد طبیعk داریم
∀A ∈ L(Rn), ∥Ak∥ ≤ ∥A∥k.
ن اشتهای خطEm را برای ی ن اشت خطA بهصورت زیر تعریف م کنیم.
لم ٢.١.۵. دنبالهی {Em} هم راست.
برهان. دنبالهی از اعداد حقیق ، ی دنباله کش درR م باشد که به ∥e∥A هم راست. ازطرف دی ر
− .
بنابراین دنباله {Em} در فضای (L(Rn ی دنباله کش است. همانطورکه م دانیم، (L(Rn ی فضای متریکامل است پس {Em} هم راست.
لم ٢.١.۶. برای (A ∈ L(Rn ن اشت
α : R → LtA(Rn) t ۷→ e
ی ن اشت مشتقپذیر است وdtd etA = (etA)′ = AetA .
برهان. برای مشاهده اثبات به [١] مراجعه شود.
تبصره ٢.١.٧. به آسان م توان دید که اگرA ی ماتریسn×n باشد تابعφ(t,x) = etAx ی سیستم دینامی
را رویRn تعریف م کند که برای هرx0 ∈ Rn ، تابع (۰φ(t,x ی جواب مسأله مقدار اولیه زیر است
x, x0.
در حالت کل ، اگر (φ(t,x ی ۱C – سیستم دینامی رویE ⊂ Rn باشد، آن اه تابع
,
ی ۱C – میدان برداری را رویE تعریف م کند که برای هرx0 ∈ E ، تابع (۰φ(t,x ی جواب مسأله مقداراولیه زیر است
{ xx˙(۰) == f(xx)0,. (١.٢)
بهعلاوه برای هرx0 ∈ E قلمرو ماکزیمال جواب (۰φ(t,x عبارت است از (∞,∞−)=(۰I(x. بنابراین هرسیستم دینامی از ی ۱C -میدان برداری،f ایجاد م شود و چنین سیستم ، مجموعه جواب معادله دیفرانسیلرا توصیف م کند که بهوسیله این میدان برداری تعریف م شود. برع س برای هر معادله دیفرانسیل داده شدهبهصورت (١.٢) با (f ∈ C1(E جواب (۰φ(t,x مربوط به مسأله مقدار اولیهی (١.٢) باx0 ∈ E ، ی سیستمدینامی رویE است اگر و فقط اگر برای هرx0 ∈ E ، تابع (۰φ(t,x برای تمامt ∈ R تعریف شده باشد.بهعبارت معادل برای هرx0 ∈ E ، قلمرو ماکزیمال وجود جواب (۰φ(t,x یعن (۰I(x تمام فاصله (∞,∞−)باشد. در این حالت م گوییم که (۰φ(t,x ی سیستم دینامی رویE است که بهوسیله (١.٢) تعریف م شود.
برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت azarim.ir مراجعه نمایید. |
١.١.٢ قضیه اساس دست اههای خط
فرض کنیدA ی ماتریسn × n باشد در این بخش ی ح م اساس را ثابت م کنیم که به موجب آن برای هرx0 ∈ Rn مسألهی مقدار اولیهی
x, x0. (٢.٢)