_(X,f) را م توانیم با ن اشت زیر نمایش دهیم
φ : N0 × X → nX ;N0 = N ∪ {۰}
(n,x) 7→ f (x)که در شرایط زیر صادق است
١. برای هرφ(۰,x) = x ،x ∈ X ، و
٢.برای هرx ∈ X و ۰φ(s,φ(t,x)) = φ(s + t,x) ،s,t ∈ N.اگرf مع وسپذیر باشد م توانیم به جای ۰N ازZ استفاده کنیم، یعن
φ : Z × X → Xn
(n,x) 7→ f (x)اکنون تعریف برای ی سیستم دینامی پیوسته ارائه م کنیم.
تعریف ٢.١.١. فرض کنیدX ی فضای توپولوژی باشد، سیستم دینامی پیوسته عبارت است از ن اشت پیوسته
φ : R × X → X,n
(n,x) 7→ φ (x)که در شرایط زیر صادق باشد
١. برای هرφ(۰,x) = x ،x ∈ X ، و
.φ(s,φ(t,x)) = φ(s + t,x) ،s,t ∈ R وx ∈ X برای هر.٢
به زبان ریاض ، دست اه دینامی تابع به ش ل ₍φ_(t,X است که برای هرt ∈ R و هرx ∈ X تعریف م شودو توصیف م کند که چ ونه نقاطx ∈ X نسبت به زمان حرکت م کنند.
تعریف ٢.١.٢. منظور از ن اشتC^r ، ن اشت است که همه مشتقات آن تا مرتبهr موجود و پیوسته باشند.
ن اشتهای که از هر مرتبه مشتقپذیرند را با ∞C نمایش م دهیم.
تعریف ٢.١.٣. فرض کنیدE ی زیرمجموعه باز ازRⁿ باشد. قرار م دهیمX _= E . اگرφ ی ن اشتC^r رویE باشد، آن اه سیستم دینامی را از کلاسC^r گوییم.
تبصره ٢.١.۴. اکنون فضای برداری ₍L₍Rⁿ تش یل شده توسط تمام ن اشتهای خط ازRⁿ بهRⁿ با نرم معمول.{۱ = ∥A ∈ L(Rⁿ), ∥A∥ = sup{∥Av∥ : ∥v∀
را در نظر ب یرید. بدیه است که برای ی عدد طبیعk داریم
∀A ∈ L(Rⁿ), ∥A^k∥ ≤ ∥A∥^k.
ن اشتهای خطE_m را برای ی ن اشت خطA بهصورت زیر تعریف م کنیم.
لم ٢.١.۵. دنبالهی {E_m} ^{هم راست}.
برهان. دنبالهی  از اعداد حقیق ، ی دنباله کش درR م باشد که به ∥e∥^A هم راست. ازطرف دی ر
− .
بنابراین دنباله {E_m} در فضای ₍L₍Rⁿ ی دنباله کش است. همانطورکه م دانیم، ₍L₍Rⁿ ی فضای متریکامل است پس {Em} هم راست.
لم ٢.١.۶. برای (A ∈ L(Rⁿ ن اشت
α : R → LtA(Rⁿ) t ۷→ e
ی ن اشت مشتقپذیر است و_dt^d e^tA = (e^tA)′ = Ae^tA .
برهان. برای مشاهده اثبات به [١] مراجعه شود.
تبصره ٢.١.٧. به آسان م توان دید که اگرA ی ماتریسn×n باشد تابعφ(t,x) = e^tAx ی سیستم دینامی
را رویRⁿ تعریف م کند که برای هرx₀ ∈ Rⁿ ، تابع _(۰φ_(t,x ی جواب مسأله مقدار اولیه زیر است
x, x₀.
در حالت کل ، اگر ₍φ_(t,x ی ^۱C – سیستم دینامی رویE ⊂ Rⁿ باشد، آن اه تابع
,
ی ^۱C – میدان برداری را رویE تعریف م کند که برای هرx₀ ∈ E ، تابع _(۰φ_(t,x ی جواب مسأله مقداراولیه زیر است
{ xx˙(۰) == f(xx)₀,. (١.٢)
بهعلاوه برای هرx₀ ∈ E قلمرو ماکزیمال جواب (_۰φ(t,x عبارت است از (∞,∞−)=(_۰I(x. بنابراین هرسیستم دینامی از ی ^۱C -میدان برداری،f ایجاد م شود و چنین سیستم ، مجموعه جواب معادله دیفرانسیلرا توصیف م کند که بهوسیله این میدان برداری تعریف م شود. برع س برای هر معادله دیفرانسیل داده شدهبهصورت (١.٢) با (f ∈ C¹(E جواب (_۰φ(t,x مربوط به مسأله مقدار اولیهی (١.٢) باx₀ ∈ E ، ی سیستمدینامی رویE است اگر و فقط اگر برای هرx₀ ∈ E ، تابع (_۰φ(t,x برای تمامt ∈ R تعریف شده باشد.بهعبارت معادل برای هرx₀ ∈ E ، قلمرو ماکزیمال وجود جواب (_۰φ(t,x یعن (_۰I(x تمام فاصله (∞,∞−)باشد. در این حالت م گوییم که _(۰φ_(t,x ی سیستم دینامی رویE است که بهوسیله (١.٢) تعریف م شود.

١.١.٢ قضیه اساس دست اههای خط

فرض کنیدA ی ماتریسn × n باشد در این بخش ی ح م اساس را ثابت م کنیم که به موجب آن برای هرx₀ ∈ Rⁿ مسألهی مقدار اولیهی
x, x₀. (٢.٢)