همیومورفیسم فراکتالی برای سیستم های تکرار توابع- قسمت ۵

(X,f) را م توانیم با ن اشت زیر نمایش دهیم
φ : N0 × → nX ;N0 = N ∪ {۰}
(n,x) 7→ (x)که در شرایط زیر صادق است
١. برای هرφ,x) = ،∈ ، و
٢.برای هر∈ و ۰φ(s,φ(t,x)) = φ(t,x) ،s,t ∈ N.اگرمع وسپذیر باشد م توانیم به جای ۰N ازZ استفاده کنیم، یعن
φ : Z × → Xn
(n,x) 7→ (x)اکنون تعریف برای ی سیستم دینامی پیوسته ارائه م کنیم.
تعریف ٢.١.١. فرض کنیدی فضای توپولوژی باشد، سیستم دینامی پیوسته عبارت است از ن اشت پیوسته
φ : R × → X,n
(n,x) 7→ φ (x)که در شرایط زیر صادق باشد
١. برای هرφ,x) = ،∈ ، و
.φ(s,φ(t,x)) = φ(t,x) ،s,t ∈ R و∈ برای هر.٢
به زبان ریاض ، دست اه دینامی تابع به ش ل (φ(t,X است که برای هر∈ R و هر∈ تعریف م شودو توصیف م کند که چ ونه نقاط∈ نسبت به زمان حرکت م کنند.
تعریف ٢.١.٢. منظور از ن اشتC، ن اشت است که همه مشتقات آن تا مرتبهموجود و پیوسته باشند.
ن اشتهای که از هر مرتبه مشتقپذیرند را با ∞C نمایش م دهیم.
تعریف ٢.١.٣. فرض کنیدی زیرمجموعه باز ازRباشد. قرار م دهیم. اگرφ ی ن اشتCرویباشد، آن اه سیستم دینامی را از کلاسCگوییم.
تبصره ٢.١.۴. اکنون فضای برداری (L(Rn تش یل شده توسط تمام ن اشتهای خط ازRبهRبا نرم معمول.{۱ = ∥∈ L(Rn)A∥ = sup{∥Av∥ : ∥v
را در نظر ب یرید. بدیه است که برای ی عدد طبیعk داریم
∈ L(Rn)Ak∥ ≤ ∥Ak.
ن اشتهای خطEرا برای ی ن اشت خطA بهصورت زیر تعریف م کنیم.
لم ٢.١.۵. دنبالهی {Em} هم راست.
برهان. دنبالهی  از اعداد حقیق ، ی دنباله کش درR م باشد که به ∥eA هم راست. ازطرف دی ر
− .
بنابراین دنباله {Em} در فضای (L(Rn ی دنباله کش است. همانطورکه م دانیم، (L(Rn ی فضای متریکامل است پس {Em} هم راست.
لم ٢.١.۶. برای (∈ L(Rn ن اشت
α : R → LtA(Rn۷→ e
ی ن اشت مشتقپذیر است وdtetA = (etA)′ = AetA .
برهان. برای مشاهده اثبات به [١] مراجعه شود.
تبصره ٢.١.٧. به آسان م توان دید که اگرA ی ماتریسn×n باشد تابعφ(t,x) = etAی سیستم دینامی
را رویRتعریف م کند که برای هرx∈ R، تابع (۰φ(t,x ی جواب مسأله مقدار اولیه زیر است
xx0.
در حالت کل ، اگر (φ(t,x ی ۱C – سیستم دینامی رویE ⊂ Rباشد، آن اه تابع
,
ی ۱C – میدان برداری را رویE تعریف م کند که برای هرx∈ E ، تابع (۰φ(t,x ی جواب مسأله مقداراولیه زیر است
xx˙(۰) == f(xx)0,. (١.٢)
بهعلاوه برای هرx∈ E قلمرو ماکزیمال جواب (۰φ(t,x عبارت است از (∞,∞−)=(۰I(x. بنابراین هرسیستم دینامی از ی ۱C -میدان برداری،f ایجاد م شود و چنین سیستم ، مجموعه جواب معادله دیفرانسیلرا توصیف م کند که بهوسیله این میدان برداری تعریف م شود. برع س برای هر معادله دیفرانسیل داده شدهبهصورت (١.٢) با (∈ C1(E جواب (۰φ(t,x مربوط به مسأله مقدار اولیهی (١.٢) باx∈ E ، ی سیستمدینامی رویE است اگر و فقط اگر برای هرx∈ E ، تابع (۰φ(t,x برای تمامt ∈ R تعریف شده باشد.بهعبارت معادل برای هرx∈ E ، قلمرو ماکزیمال وجود جواب (۰φ(t,x یعن (۰I(x تمام فاصله (∞,∞−)باشد. در این حالت م گوییم که (۰φ(t,x ی سیستم دینامی رویE است که بهوسیله (١.٢) تعریف م شود.

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت azarim.ir مراجعه نمایید.

١.١.٢ قضیه اساس دست اههای خط

فرض کنیدی ماتریس× باشد در این بخش ی ح م اساس را ثابت م کنیم که به موجب آن برای هرx∈ Rn مسألهی مقدار اولیهی
xx0(٢.٢)