همیومورفیسم فراکتالی برای سیستم های تکرار توابع- قسمت ۳

  1. U. و این برهان قسمت (١) را کامل م کند.

١.٣. دینامی نمادین
نتیجه ١.٢.٣. اگرf → ۰پیوسته و روی مجموعهی فشردهX کمین باشد آن اه برای مجموعهی بازU در
X عددn∈ N وجود دارد بهطوریکهi=∪nU fi(U) = .

برهان. بنا به قضیه ٢.٢.١، چونکمین است پس برای مجموعه بازداریم.  از طرف چونX فشرده است و  ی پوشش بازی برای مجموعهم باشد پس دارای ی زیرپوشش متناه است.
لذا م توانیم، توانهایn1,…,n− را چنان بیابیم که
fn1(U) ∪ … ∪ fnk(U).
اکنون کافیست در نظر ب یریم {nmax{n: ۱ ≤ ≤ k. بنابراین
.
لم ١.٢.۴. فرض کنیدf → X ی ن اشت کمین روی مجموعه فشردهX باشد. دراینصورت برای هرx ∈ X، داریمω(x,f) = X .
برهان. چونکمین و (ω(x,f ی مجموعه بسته و تحتپایاست، بنابراین طبق قضیه ٢.٢.١ باید ∅ =(ω(x,f
یاω(x,f) = از طرف چونفشرده است پس ∅ ≠ (ω(x,f در نتیجهω(x,f) = .
لم ١.٢.۵. فرض کنیدf → X ی ن اشت کمین روی مجموعه فشردهX باشد اگر برای هرx ∈ X داشته
باشیمω(x,f) = X ، آن اهf کمین است.
برهان. فرض کنید⊂ ، ی مجموعه ناته ، بسته و تحتپایا باشد. چون ∅ ≠، بنابراین وجود دارد
ی∈ کهO+(y,f) ⊆ از طرف چونبسته است داریمω(y,f) ⊆ O+(y,f) ⊆ ، بنا به فرض داریم
ω(y,f) = X، پس⊆ . بهعبارت معادل،. و این ثابت م کند کهکمین است.

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت  jemo.ir  مراجعه نمایید.

٣.١ دینامی نمادین

در این بخش ضمن معرف فضای دنبالهها، تعاریف و قضایای پیرامون آنها را شرح خواهیم داد.
تعریف ١.٣.١. مجموعهی {A,۲,…,m را در نظر م گیریم. مجموعه همه دنبالههای دوطرفه و دنبالههای
ی طرفه با درایههای واقع در مجموعهیAرا بهترتیب، باΣ= {۱,۲,…,m}وΣ+= {۱,۲,…,m}نمایش م دهیم. که در آنی عدد طبیع و بزرگتر از ١ است. بهعبارت دی ر هر عضوω ∈ Σ+m)ω ∈ Σ)را م توان بهعنوان ی تابع ازZ بهA(یا تابع ازN بهA)در نظر گرفت.
همچنین هر عضوω ∈ Σ+m)ω ∈ Σ) را بهصورتω = (ωi)iZ یاω = (ωi)iN نمایش م دهیم.
١۴
تعریف ١.٣.٢. اعضای مجموعهیAرا الفبا م نامیم و هر دنبالهی متناه از اعضایAرا کلمه م گوییم.اگرω ی دنباله ی طرفه یا دوطرفه باشد و⩽ ، آن اه کلمهیωll+1,…,ωرا قطعهای ازω م نامیم و با
نماد [ω[l,k نمایش م دهیم.
تعریف ١.٣.٣. متررا رویΣوΣ+بهصورت زیر تعریف م کنیم
: Σ× Σ→ Rبهطوریکه
d(ω,ω′) = ۲−, l = min{ | |: ω̸= ωi}.
تبصره ١.٣.۴. فضاهای ((Σm,d و ((Σ+m,d، دو فضای متری م باشند.
قضیه ١.٣.۵. (قضیه تیخونوف [۹] ) حاصلضرب تعداد متناه از مجموعههای فشرده، فشرده است.
برهان. برای اثبات به [١٧] مراجعه شود.
قضیه ١.٣.۶. فضاهای ((Σm,d و ((Σ+m,d فضاهای متری فشرده م باشند.
برهان. م دانیم که مجموعه {A= {۱,۲,…,m ی مجموعه فشرده است و  حاصلضرب ازAاست، بنابراین با توجه به قضیه تیخونوفΣوΣ+فشرده م باشند.
گزاره ١.٣.٧. فرض کنیدω,ω′ ∈ Σ+m)ω,ω′ ∈ Σ) وn ∈ N .
، و بر ع سd(ω,ω′) ≤ ۲−آن اه، (ω,n] = ω′[۱,n])ω[−n,n] = ω′[−n,nاگ
اگر ۱d(ω,ω′) ≤ ۲−n، آن اه [ω,n] = ω′[۱,n])ω[−n,n] = ω′[−n,n) .برهان. ١) طبق تعریف داریم