- U. و این برهان قسمت (١) را کامل م کند.
١.٣. دینامی نمادین
نتیجه ١.٢.٣. اگرf : X → X ۰پیوسته و روی مجموعهی فشردهX کمین باشد آن اه برای مجموعهی بازU در
X عددnU ∈ N وجود دارد بهطوریکهi=∪nU fi(U) = X .
−
برهان. بنا به قضیه ٢.٢.١، چونf کمین است پس برای مجموعه بازU داریم. از طرف چونX فشرده است و ی پوشش بازی برای مجموعهX م باشد پس دارای ی زیرپوشش متناه است.
لذا م توانیم، توانهایn1,…,−nk − را چنان بیابیم که
X = f−n1(U) ∪ … ∪ f−nk(U).
اکنون کافیست در نظر ب یریم {nU = max{ni : ۱ ≤ i ≤ k. بنابراین
.
لم ١.٢.۴. فرض کنیدf : X → X ی ن اشت کمین روی مجموعه فشردهX باشد. دراینصورت برای هرx ∈ X، داریمω(x,f) = X .
برهان. چونf کمین و (ω(x,f ی مجموعه بسته و تحتf پایاست، بنابراین طبق قضیه ٢.٢.١ باید ∅ =(ω(x,f
یاω(x,f) = X از طرف چونX فشرده است پس ∅ ≠ (ω(x,f در نتیجهω(x,f) = X .
لم ١.٢.۵. فرض کنیدf : X → X ی ن اشت کمین روی مجموعه فشردهX باشد اگر برای هرx ∈ X داشته
باشیمω(x,f) = X ، آن اهf کمین است.
برهان. فرض کنیدA ⊂ X ، ی مجموعه ناته ، بسته و تحتf پایا باشد. چون ∅ ≠A ، بنابراین وجود دارد
یy ∈ A کهO+(y,f) ⊆ A از طرف چونA بسته است داریمω(y,f) ⊆ O+(y,f) ⊆ A ، بنا به فرض داریم
ω(y,f) = X، پسX ⊆ A . بهعبارت معادل،X = A . و این ثابت م کند کهf کمین است.
| برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت jemo.ir مراجعه نمایید. |
٣.١ دینامی نمادین
در این بخش ضمن معرف فضای دنبالهها، تعاریف و قضایای پیرامون آنها را شرح خواهیم داد.
تعریف ١.٣.١. مجموعهی {Am = {۱,۲,…,m را در نظر م گیریم. مجموعه همه دنبالههای دوطرفه و دنبالههای
ی طرفه با درایههای واقع در مجموعهیAm را بهترتیب، باΣm = {۱,۲,…,m}Z وΣ+m = {۱,۲,…,m}N نمایش م دهیم. که در آنm ی عدد طبیع و بزرگتر از ١ است. بهعبارت دی ر هر عضوω ∈ Σ+m)ω ∈ Σm )را م توان بهعنوان ی تابع ازZ بهAm (یا تابع ازN بهAm )در نظر گرفت.
همچنین هر عضوω ∈ Σ+m)ω ∈ Σm ) را بهصورتω = (ωi)i∈Z یاω = (ωi)i∈N نمایش م دهیم.
١۴
تعریف ١.٣.٢. اعضای مجموعهیAm را الفبا م نامیم و هر دنبالهی متناه از اعضایAm را کلمه م گوییم.اگرω ی دنباله ی طرفه یا دوطرفه باشد وl ⩽ k ، آن اه کلمهیωl,ωl+1,…,ωk را قطعهای ازω م نامیم و با
نماد [ω[l,k نمایش م دهیم.
تعریف ١.٣.٣. مترd را رویΣm وΣ+m بهصورت زیر تعریف م کنیم
d : Σm × Σm → R, بهطوریکه
d(ω,ω′) = ۲−l , l = min{ | i |: ωi ̸= ωi′}.
تبصره ١.٣.۴. فضاهای ((Σm,d و ((Σ+m,d، دو فضای متری م باشند.
قضیه ١.٣.۵. (قضیه تیخونوف [۹] ) حاصلضرب تعداد متناه از مجموعههای فشرده، فشرده است.
برهان. برای اثبات به [١٧] مراجعه شود.
قضیه ١.٣.۶. فضاهای ((Σm,d و ((Σ+m,d فضاهای متری فشرده م باشند.
برهان. م دانیم که مجموعه {Am = {۱,۲,…,m ی مجموعه فشرده است و حاصلضرب ازAm است، بنابراین با توجه به قضیه تیخونوفΣm وΣ+m فشرده م باشند.
گزاره ١.٣.٧. فرض کنیدω,ω′ ∈ Σ+m)ω,ω′ ∈ Σm ) وn ∈ N .
، و بر ع سd(ω,ω′) ≤ ۲−n آن اه، (ω[۱,n] = ω′[۱,n])ω[−n,n] = ω′[−n,n] اگ
اگر ۱−d(ω,ω′) ≤ ۲−n، آن اه [ω[۱,n] = ω′[۱,n])ω[−n,n] = ω′[−n,n) .برهان. ١) طبق تعریف داریم
