همیومورفیسم فراکتالی برای سیستم های تکرار توابع- قسمت ۲

در پایان این بخش به معرف مجموعهی نقاط ناسرگردان م پردازیم.
تعریف ١.١.١۵. فرض کنید→ ی ن اشت پیوسته روی فضای متریباشد. نقطهی∈ رای نقطهی ناسرگردان م نامیم، هرگاه برای هر همسایاز، عدد طبیع، چنان موجود باشد که
fn(U) ∩ ̸= ∅.
مجموعهی نقاط ناسرگردان را با (Ω(f نمایش م دهیم. اگر نقطهیناسرگردان نباشد، آن را سرگردان نامیم.
گزاره ١.١.١۶. مجموعهی (Ω(f ی مجموعهی بسته و پیشرو پایا م باشد که
.
برهان. بسته بودن: فرض کنید دنبالهی {xn} ها متعلق به (Ω(f باشد وx→ . م خواهیم ثابت کنیم که(.y ∈ Ω(f
برای این منظور فرض م کنیمی همسای ازباشد. چونx→ پس ی ۰n وجود دارد بهطوریکه.xn∈ U پسی مجموعهی باز شامل نقطهی ۰xn م باشد. طبق تعریف نقاط ناسرگردان یوجود داردبهطوریکه.fm(U∩ ≠ ϕ چونی همسای دلخواه ازبود، پس، ی نقطهی ناسرگردان م باشد.
پایا بودن: م خواهیم ثابت کنیم (.f(Ω(f)) ⊆ Ω(f
فرض کنید (∈ Ω(f باشد، ثابت م کنیم (.f(x) ∈ Ω(f فرض کنیدی مجموعهی باز شامل (f(xباشد. چونی ن اشت پیوسته ازبهم باشد، (f۱(W ی مجموعهی باز شاملاست. بنابه این ه
فرض کردیم (∈ Ω(f باشد و با توجه به تعریف نقاط ناسرگردان داریم,∅ ≠ (n s.t. fn(f۱(W)) ∩ f۱(W
یعن
fn۱(W) ∩ ̸= ∅.
با اثر دادن ی بار ن اشتروی دو مجموعهی فوق داریم ∅ ≠fn(W∩ . پس (f(x ی نقطهی ناسرگردانم باشد.اکنون ثابت م کنیم که (ω ⊆ Ω(f.
فرض کنیدعضو دلخواه از مجموعهی (ω(f باشد. طبق تعریف نقاطω -حدی، دنبالهی {nk} و نقطهای
مانند∈ وجود دارد بهطوریکه.fnk(x) → y
اکنون فرض کنید کهی مجموعهی باز شامل نقطهیباشد. چونی نقطهی حدی برای مجموعهی
{(fnk(x} است پسN∈ N وجود دارد بهطوریکه
n> N=⇒ fnk(x) ∈ U,
فرض کنید ۲N< nk< nk باشند.واضح است کهfnk2(x,fnk1(x) ∈ بنابراین داریم
fnk2−nk1(fnk1(x)) = fnk2(x) ∈ U.
بهعبارت معادل ∅ ̸=fnk2nk1(U) ∩ . و این ثابت م کند که (∈ Ω(f.

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت zusa.ir مراجعه نمایید.

٢.١ سیستمهای کمین

در این بخش به بررس مجموعههای کمین و ارتباط آنها با مجموعههایω -حدی م پردازیم.
تعریف ١.٢.١. ن اشت پیوستهی→ را کمین گوییم، اگر برای هرO+(x,f) ،∈ .
قضیه ١.٢.٢. فرض کنید ن اشتf → X ی ن اشت پیوسته روی فضای متریX باشد. آن اه موارد زیرهم ارز م باشند
ن اشتf کمین است.
تنها زیر مجموعههای بسته و پیشرو پایای تحتf ، عبارت ازX و ∅ هستند.
برای هر زیر مجموعهی باز و غیر ته ازX مانندU داریم 
برهان. ٢( ⇒ ١): فرض کنیدی زیرمجموعهی ناته ، پیشرو پایا و بسته درباشد، هن ام که ∅ ≠بسته
و پایا است پس ی∈ وجود دارد بهطوریکهO+(x,f) ⊆ . و در نتیجه.
٣( ⇒ ٢): فرض کنیدمجموعهی باز دلخواه درباشد، مجموعهی بستهیرا بهصورت زیر تعریفم کنیم
.
اگر ∅ =باشد، آن اه  و مسأله حل شده است.
فرض کنید ∅ ≠باشد، کافیست ثابت کنیم کهتحتپیشرو پایا م باشد. داریم
چون ∅ ≠بود، پس≠ . از طرف ∅ ≠̸= که این با فرض (٢) در تناقض است. پسنم تواندمخالف ته باشد.
١( ⇒ ٣): فرض کنید∈ عضو دلخواه باشد. م خواهیم ثابت کنیم که (.X O+(x,f همچنینفرض کنیدی مجموعهی باز درباشد. برای اینکه ب وییم (O+(x,f درچ ال است، کافیست ثابتکنیم که ت رار مثبت از نقطهیتحتدرقرار دارد.
بنا به فرض (٣) داریمi=∪۰ fi(U) = پس (∈ ZN s.t. x ∈ fn(U. بهطور معادل ∈ (fn(x
−∞