تعریف ٣.۴.٣. فرض م کنیم∈ وی همسای باز از نقطهیباشد. در اینصورت
C= {∈ Diff1(M) | g() ⊂ ∧ ∀∈ V , g ∈ Γ(x)}.
در ۱C -توپولوژی،Cی مجموعهی باز است.
تبصره ٣.۴.۴. ن اشتα CV → V که هر ن اشت درCرا به نقطهی ثابت آن ن اشت درV م برد، پیوستهاست.
تعریف ٣.۴.۵. مجموعهی نقاطp1,p2,…,pm+1} ⊂ R} مستقل آفین نامیده م شود اگر مجموعهی
، مستقل خط باشد.
قضیه ٣.۴.۶. فرض م کنیم {۱+L = {S1,S2,…,Sm که برای هر ۱+S∈ C،۱ ≤ ≤ m . و
{(۱+α(S1)(S2),…,α(Sm} مستقل آفین باشند دراینصورت مجموعهی فشردهی با درون ناتهF وجود دارد
بهطوریکه سیستم ت رار توابع (۱+IFS(F;S1,S2,…,Sm کمین است .
٣.۴. مجموعههای پایا با درون ناته ٣٧
برهان. در لم ٢.٣.٣ نشان دادیم که سیستم ت رار توابع (۱+IFS(F;S1,S2,…,Sm سیستم کمین است. بنابرایندر اینجا کافیست نشان دهیم که درون مجموعهیناته است. برای اینمنظور فرض م کنیم⊂ RوS1,S2,…,Sm+1} ⊂ CV} بهطوریکه زیرمجموعهی {(۱+α(S1)(S2),…,α(Sm} مستقل آفین است. علاوهبر این،Sها را طوری انتخاب م کنیم که ((DSi(α(Si مضرب از همان باشد. حال سیستم خط = ˜L
{۱+K1,…,Km} را در نظر م گیریم بهطوریکه
Ki(x) = DSi(α(Si))(− α(Si)) + α(Si, i = ۱,۲,…,m + ۱
اگر لازم باشد، با منقبض کردنK، ها بهدلخواه بهSها روینزدی م شوند. واضح است که مجموعهی{(۱+F˜ = conv{α(S1)(S2),…,α(Sm تحت ˜L پایاست.حال (˜αi′ ⊂ int(F را نزدی به (α(Si در نظر م گیریم. فرض م کنیم
,
در اینصورت داریم,… ⊂ (۲F⊂ L˜(F2) ⊂ … ⊂ L˜n(Fو این ایجاب م کند که
.
از آنجاکهSها بهدلخواه بهKها روینزدی هستند، پس,… ⊂ (۲F⊂ L(F2) ⊂ … ⊂ Ln(F.(Ln(F2) ⊂ int(F ∪
۰≥nو این اثبات قضیه را کامل م کند.
در ادامه مثال از سیستمهای ت رار توابع که توسط دو انقباض آفین ایجاد شدهاند و ی مجموعه پایای کمین بادرون ناته رویR، برای هر۰ ⩾، دارند را ارائه م دهیم.
مثال ٣.۴.٧. دو ن اشت آفین را بهصورت زیر در نظر م گیریم
S, S: R −→ R,
بهطوریکه
مقدارε را م توانیم طوری اختیار کنیم که دو ن اشت آفین فوق پیوسته و انقباض باشند. زیرا اگر تعریف کنیم
در اینصورت ۱(,۰) ∈و داریم
d(S1(x),S1(y)) = d(S2(x),S2(y)) ⩽ qd(x,y) ; ∀x,y ∈ R.
٣٨
(کهمتر اقلیدس است). حال فرض م کنیمی بازه باز درR باشد که برای ۲,۱=diam(D۱, i
داریمSi(D) ⊆ . دراینصورت (۲D;S1,S) ی سیستم ت رار توابع انقباض تش یل م دهد. فرض م کنیمK مجموعه تمام زیرمجموعههای فشرده و ناته ازوL ن اشت رویباشد که با ضابطهی (٢.٣) تعریفم شود. اکنون اگر فرض کنیمی بازه به طول واحد باشد بدیه است که (⊂ L(B. با توجه به قضیه ٩.٢.٣و نتیجهی آن باید⊂ باشد کهجاذب منحصربفرد برای سیستم ت رار توابع ایجاد شده بهوسیله انقباضهای۱S و ۲S م باشد. این جاذب ی مجموعهی کمین است که بازه واحدی را شامل م شود. بنابراین ی مجموعهکمین با درون ناته داریم.
فصل ۴

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت azarim.ir مراجعه نمایید.

سیستمهای دینامی ت رار توابع دوآفین

١ . ۴ هندسه توابع دوآفین
٢ . ۴ سیستمهای ت رار توابع دوآفین
٣ . ۴ همیومورفیسم فراکتال
در فصل قبل در خصوص سیستمهای ت رار توابع بحث گردید و ضمن معرف سیستم ت رار توابع انقباض ، تعاریفو قضایای مربوط به ویژگ های آن بیان شد. در این فصل به معرف سیستمهای ت رار توابع دوآفین م پردازیم.آشنای با ساختار توابع دوآفین نقطهی شروع بحث ما خواهد بود. عمده مطالب این فصل بر اساس ی از مقالاتبارنزل و وینس [۶] است که در آن تلاش شده است که از توابع دوآفین جهت تش یل سیستم استفاده گردد.

١.۴ هندسه توابع دوآفین

ی از مقالات اصل حساب تقریب زدن توابع غیرخط بهوسیله توابع خط است که این مفهوم اساس در مشتقی تابع بهکار گرفته م شود. در این بخش به معرف توابع آفین و دوآفین م پردازیم که زمینه لازم را برای معرفسیستمهای ت رار توابع دوآفین فراهم م کنند.
تعریف ۴.١.١. تابع: R→ Rآفین نامیده م شود اگر ی تابع خط: R→ Rو ی بردار∈ Rوجود داشته باشد بهطوریکه برای هر∈ Rداشته باشیم
A(x) = L(x) + b.