متن کامل – همیومورفیسم فراکتالی برای سیستم های تکرار توابع- قسمت ۱۳

٣.٣. سیستمهای ت رار توابع کمین ۵٣
نتیجه ٣.٢.٠١. اگر (E ∈ K(D بهطوریکه برای هرi ⩽ k ⩽ ۱ داشته باشیمS_i(E) ⊆ E . آن اه =F
.
برهان. چون مطابق با فرض داریمi ⩽ k , S_i(E) ⊆ E ⩽ ۱∀ بنابراین در نظر م گیریم
L E E,
,
بهطریق مشابه داریم
L^p(E) = L(L^p−^۱(E)),
در نتیجه
E ⊇ L(E) ⊇ L²(E) ⊇ … ⊇ L^p(E) ⊇ ….
بنابراینL(E) ⊂ E ^{و درنتیجه دنباله} ۱_⩾{L^k(E)}k ^ی دنباله نزول از مجموعههای فشردهی ناته است. طبققضیه ٩.٢.٣ م دانیم که حد این دنباله برابر مجموعهF است و بایست با اشتراک زیر مساوی باشد
.
تعریف ٣.٢.١١. هرگاهF ی مجموعه پایا دارای ویژگ (F = _klim L^k(E باشد دراینصورت م گوییمF ی_∞→
جاذب است و آنرا فراکتال م نامیم.

٣.٣ سیستمهای ت رار توابع کمین

تعریف ٣.٣.١. سیستم ت رار توابع ₍IFS(_{X;S1,S2,…,Sk} ی سیستم کمین نامیده م شود اگر تنها زیرمجموعههایبسته و پایای تحتS_i ها، ته و خودX باشد. بعبارت معادل
∀x ∈ X , O⁺(x) = {S_i1o…oS_it(x); 1 ≤ i_t ≤ k} = X.
لم ٣.٣.٢. فرض کنیدF ی جاذب منحصربفرد برای سیستم ت رار توابع انقباض (IFS(X;S₁,S₂,…,S_k باشد
دراینصورت سیستم (IFS(F;S₁,S₂,…,S_k کمین است.
برهان. فرض م کنیمE ی زیرمجموعه بسته و ناته ازF باشد بهطوریکه
∀۱ ≤ i ≤ k , S_i(E) ⊆ E
در اینصورت طبق نتیجه ١٠.٢.٣ داریم
∞
F = i∩=۰ Lⁱ(E), i
⇒ ∀i ⩾ ۰ , F ⊂ L (E).
در حالت خاص اگر _۰=i در نظر ب یریم داریم(٣.٣)F ⊂ L⁰(E) = E ⇒ F ⊂ E ۶٣
از فرض برهان و رابطهی (٣.٣) نتیجه م گیریم کهE _= F و بنابراین م توان نتیجه گرفت که تنها زیرمجموعههای
بسته و پایای تحتS_i ها ، ته و خودF هستند لذا با توجه به قضیه ٢.٢.١، سیستم (IFS(F;S₁,S₂,…,S_kکمین است.

۴.٣ مجموعههای پایا با درون ناته

اکنون به مطالعه سیستمهای م پردازیم که ی مجموعه پایا با درون ناته دارند. ابتدا چند تعریف و نمادگذاریکه در ادامه مورد نیاز م باشد را ارائه م کنیم.
تعریف ٣.۴.١. فرض م کنیمM ی منیفلدm -بعدی فشرده باشد. فضای تمام ن اشتهای روی منیفلدM را
که مشتق مرتبه اول آنها موجود و پیوسته است را با ₍Diff¹_(M نمایش م دهیم و تعریف م کنیم
∀x ∈ M ; Γ(x) = {g ∈ Diff ,
بنابراین
Γ(x) ⊂ Diff¹(M).
تعریف ٣.۴.٢. برای _۰C¹ ،r > -توپولوژی روی منیفلدM توسط گویهای باز
,{B(f,r) = {g ∈ Diff¹(M) | d(f,g) < rایجاد م گردد که در آن مترd با رابطه زیر تعریف م شود
 .
همچنینDf مشتق ن اشتf است.