٣.٣. سیستمهای ت رار توابع کمین ۵٣
نتیجه ٣.٢.٠١. اگر (E ∈ K(D بهطوریکه برای هرi ⩽ k ⩽ ۱ داشته باشیمSi(E) ⊆ E . آن اه =F
.
برهان. چون مطابق با فرض داریمi ⩽ k , Si(E) ⊆ E ⩽ ۱∀ بنابراین در نظر م گیریم
L E E,
,
بهطریق مشابه داریم
Lp(E) = L(Lp−۱(E)),
در نتیجه
E ⊇ L(E) ⊇ L2(E) ⊇ … ⊇ Lp(E) ⊇ ….
بنابراینL(E) ⊂ E و درنتیجه دنباله ۱⩾{Lk(E)}k ی دنباله نزول از مجموعههای فشردهی ناته است. طبققضیه ٩.٢.٣ م دانیم که حد این دنباله برابر مجموعهF است و بایست با اشتراک زیر مساوی باشد
.
تعریف ٣.٢.١١. هرگاهF ی مجموعه پایا دارای ویژگ (F = klim Lk(E باشد دراینصورت م گوییمF ی∞→
جاذب است و آنرا فراکتال م نامیم.
| برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت ۴۰y.ir مراجعه نمایید. |
٣.٣ سیستمهای ت رار توابع کمین
تعریف ٣.٣.١. سیستم ت رار توابع (IFS(X;S1,S2,…,Sk ی سیستم کمین نامیده م شود اگر تنها زیرمجموعههایبسته و پایای تحتSi ها، ته و خودX باشد. بعبارت معادل
∀x ∈ X , O+(x) = {Si1o…oSit(x); 1 ≤ it ≤ k} = X.
لم ٣.٣.٢. فرض کنیدF ی جاذب منحصربفرد برای سیستم ت رار توابع انقباض (IFS(X;S1,S2,…,Sk باشد
دراینصورت سیستم (IFS(F;S1,S2,…,Sk کمین است.
برهان. فرض م کنیمE ی زیرمجموعه بسته و ناته ازF باشد بهطوریکه
∀۱ ≤ i ≤ k , Si(E) ⊆ E
در اینصورت طبق نتیجه ١٠.٢.٣ داریم
∞
F = i∩=۰ Li(E), i
⇒ ∀i ⩾ ۰ , F ⊂ L (E).
در حالت خاص اگر ۰=i در نظر ب یریم داریم(٣.٣)F ⊂ L0(E) = E ⇒ F ⊂ E ۶٣
از فرض برهان و رابطهی (٣.٣) نتیجه م گیریم کهE = F و بنابراین م توان نتیجه گرفت که تنها زیرمجموعههای
بسته و پایای تحتSi ها ، ته و خودF هستند لذا با توجه به قضیه ٢.٢.١، سیستم (IFS(F;S1,S2,…,Skکمین است.
۴.٣ مجموعههای پایا با درون ناته
اکنون به مطالعه سیستمهای م پردازیم که ی مجموعه پایا با درون ناته دارند. ابتدا چند تعریف و نمادگذاریکه در ادامه مورد نیاز م باشد را ارائه م کنیم.
تعریف ٣.۴.١. فرض م کنیمM ی منیفلدm -بعدی فشرده باشد. فضای تمام ن اشتهای روی منیفلدM را
که مشتق مرتبه اول آنها موجود و پیوسته است را با (Diff1(M نمایش م دهیم و تعریف م کنیم
∀x ∈ M ; Γ(x) = {g ∈ Diff ,
بنابراین
Γ(x) ⊂ Diff1(M).
تعریف ٣.۴.٢. برای ۰C1 ،r > -توپولوژی روی منیفلدM توسط گویهای باز
,{B(f,r) = {g ∈ Diff1(M) | d(f,g) < rایجاد م گردد که در آن مترd با رابطه زیر تعریف م شود
.
همچنینDf مشتق ن اشتf است.