همیومورفیسم فراکتالی برای سیستم های تکرار توابع- قسمت ۱۲

x∈ An, d(xn,xn+1۲−n.
هر دنباله مانند فوق درX کش م باشد و به نقطهای مانندx ∈ X هم راست. بهعلاوه
d(xn,x۲−n+1 ; ∀∈ N
برهان. از آنجای کهAها زیر مجموعههای فشرده و ناته هستند پس برای هر∈ N ی دنبالهیxn}n}دروجود دارد، بهطوریکهx∈ Aو طبق تعریف
d(xn,xn+1) < dH(An,An+1) ۲−n.
اگر ۰ε > باشد، ی∈ N وجود دارد بهطوریکه< ε −۲٫ بنابراین اگرN < m < n داریم
بنابراین دنبالهیxn}n} ی دنباله کش دراست و به نقطهای مانندهم را م باشد. زیرا با بهکارگیریدوباره از نامساوی مثلثبرای هر≥ lN داریم
d  ⩽ d d 
قضیه ٣.٢.٧. اگر (X,d) ی فضای متری کامل باشد، آن اه (K(X),dH) نیز ی فضای متری کامل است.
کهdمتر هاسدورف تولید شده توسطd م باشد.
برهان. فرض کنید  ی دنبالهی کش در فضای (K(X باشد. یعنε > ۰ ∃∈ N s.t. m,n > N dH(An,Am< ε.
اکنون م توانیم ی زیر دنباله از  را طوری اختیار کنیم کهdH(An,An+1۲−، در نتیجه
AAnn+1⊆ N(An+1n,2−−nn)),.
⊆ N(A ,2
٣۴
فرض م کنیم، مجموعهی تمام حدود زیر دنبالهای از دنبالههای ۱xn}n} باشد کهx∈ Aهستند و
d(xn,xn+1۲−n . بنابراین با توجه به تعریفو بنا به گزاره ۶.٢.٣ ، چنین دنبالههای هم را م باشند
و برای هر، اگر∈ باشد، آن اهx∈ Aوجود دارد بهطوریکه ۱+d(xn,x۲−n. پس
(١.٣) .(۱+⊂ {∈ d(xn,x۲−n+1 for some x∈ An} = N(An,2−nلذا نتیجه م گیریم کهکراندار است و (∈ K(X. حال فرض کنید ۰ε > . بنابراین برای∈ N داریم۰ >ε > ۲−. قرار م دهیم ۱+n > N . حال طبق گزاره ۶.٢.٣ برای هرx∈ Aوجود دارد∈ که
۱+d(xn,x۲−n. بنابراین
A⊂ {x∈ Ad(xn,x۲−n+1 forsome x∈ ⊆ X} = N(A,2−n+1).
طبق رابطهی (١.٣) داریمdH(An,A۲−n+1 < ε . بنابراین دنبالهی  در متری هاسدورفهم راست.
نمادگذاری: سیستم (IFS(X,F را در نظر م گیریم. فرض م کنیمK مجموعه تمام زیرمجموعههای فشرده وناته ازباشد. تبدیلL را برای سیستم (IFS(X,F بهصورت زیر تعریف م کنیم(٢.٣) ,L : K → K
که برای هر مجموعه∈ K داریم (L(E) = i∪=۱fi(E.
تعریف ٣.٢.٨. مجموعهنسبت بهL پایاست اگر (= L(A باشد.
قضیه ٣.٢.٩. فرض کنیدD ⊆ Rوd ی متری روی آن باشد بهطوریکه (D,d) فضای متری کامل است.
مجموعه {S = {S1,S2,…,Sk از توابع انقباض رویD را در نظر ب یرید. برای سیستم (IFS(D,S یمجموعهی پایای ی تا مانندF وجود دارد بهطوریکه
∈ K , nlim→∞ Ln(E) = F.
برهان. با توجه به قضیه ٧.٢.٣ ، هن ام کهی فضای متری کامل است پس فضای (K(D),dH) نیز یفضای متری کامل است. همچنینL یk k ن اشت انقباض روی (K(D م باشد. زیرا
dH(L(A),HL(Bi )) = diH(i∪=۱ Si(A), i∪=۱ Si(B))
≤ ۱max≤i((A),S (B))
≤ (۱max≤iCi)dH(A,B)
≤ dH(A,B).
چون ن اشتهایSانقباض هستند و داریم ۱ <maxi k C۱ < ۰، بنابراین با توجه به قضیه نقطهی ثابت باناخ،
≤ ≤
مجموعهی ی تای مانندمتعلق به (K(D وجود دارد بهطوریکهL(F) = . و طبق همین قضیه برای هر
داریم∈ K(D)
nlim Ln(E) = F.
→∞

برای دانلود متن کامل این پایان نامه به سایت  pipaf.ir  مراجعه نمایید.