تحقیق دانشگاهی – همیومورفیسم فراکتالی برای سیستم های تکرار توابع- قسمت ۱۱

که این ی تناقض م باشد. لذاx منحصر بفرد است.

٢.٣ سیستمهای ت رار توابع

در این بخش به بررس سیستمهای که توسط چند ن اشت بهوجود م آیند م پردازیم که به این سیستمها، سیستمهایت رار توابع م گویند.
تعریف ٣.٢.١. فرض کنید (X,d) ی فضای متری و {F = {f₁,f₂,…,f_k ی مجموعهی متناه از ن اشتهایرویX باشد. نیمگروه تولید شده توسطF تحت عمل ترکیب توابع، که آنرا با نماد ⁺>F < نمایش م دهیم، رادر نظر ب یرید
< F >⁺= {h : X → X;h = f_ino…of_i1 ; i_j ∈ {۱,۲,…,k}} ∪ {id : X → X}.
سیستم ت رار توابع تولید شده توسطF که به اختصار با (IFS(_X,F نمایش داده م شود، چیزی جز عمل نیمگروه⁺>F < روی مجموعهX نم باشد. درصورت که ن اشتهای {f₁,f₂,…,f_k} انقباض باشند سیستم ت رار توابعتولید شده توسط آنها را سیستم ت رار توابع انقباض م نامیم.
با بهرهگیری از مفاهیم دینامی نمادین برای یω ∈ Σ⁺_k که …ω = ω_۱ω_۲ω_۳…ω_n قرار م دهیم
fwn := fwno…ofw1.
که ^۱
f_ω(x) = f_ω۱(x), f_ω^۲(x) = f_ω۲of_ω۱(x),
…
f_ω^s(x) = f_ωso…of_ω۱(x).
بنابراین برای هرω ∈ Σ⁺_k و هرn ∈ N با توجه به تعریف نیمگروه داریم  .
لازم به ذکر است که ⁺>_nlim→∞ f_ωⁿ ∈/< F .
تعریف ٣.٢.٢. مجموعهی {S = {S_1,…,Sk از ن اشتهای انقباض رویX را در نظر ب یرید. مجموعهی ناتهو فشردهA درX را ی مجموعه پایا برای (IFS(_X,S گوییم هرگاه  .
تعریف ٣.٢.٣. مجموعهی {S = {S_1,…,Sk از ن اشتهای انقباض رویX را در نظر ب یرید. مجموعهی ناتهو فشردهA درX را ی جاذب برای (IFS(_X,S گوییم هرگاه
,
که در اینجا
d_H(f_ωⁿ(x),A) = _ainf_A{d(f_ωⁿ(x),a)}.
∈
یادآوری ٣.٢.۴. فرض کنید _(X,d) ی فضای متری و ₍K(_X مجموعهی تمام زیرمجموعههای بسته، کراندار وناته ازX باشد. یδ – همسای از (A ∈ K(X را بهصورت زیر تعریف م کنیم
N(A,δ) = {x ∈ X : ∃a ∈ A s.t. d(x,a) < δ},
بههمین طریق، اگر (A,B ∈ K(X آن اه
d_H(A,B) = inf{δ : A ⊆ N(B,δ) ∧ B ⊆ N(A,δ)}.
گزاره ٣.٢.۵.d_H ی متر روی فضای ₍K(_X م باشد که به متر هاسدورف ^[۱۳] مشهور است.
برهان. شرایط متر را برایd_H بررس م کنیم.
برای هر (A,B ∈ K(X اگرA = B باشد، آن اه بدیه است که ۰=(d_H(A,B. از طرف دی ر فرض م کنیم
d_H(A,B) = 0 ⇒ inf{δ : A ⊆ N(B,δ) ∧ B ⊆ N(A,δ)} = ۰.
بنابراین برای هرn ، داریم  . پس برای هرx ∈ A ، م توانیمx_n ∈ B را طوری انتخاب کنیم که  . چونB ی مجموعه بسته است لذاx ∈ B . در نتیجهA ⊆ B . به روش مشابه م توان نشان داد
.B ⊆ A که
نشان م دهیم (d_H(A,B) = d_H(B,A. طبق تعریف متر هاسدورف داریم
d A,B { A ⊆ N B,δ B ⊆ N A,δ }
٣.٢. سیستمهای ت رار توابع
فرض م کنیم (C ∈ K(X، نشان م دهیم (d_H(A,C) ⩽ d_H(A,B) + d_H(B,C. برای این منظور فرض
م کنیم که اگرd_H(A,B) < δ و ′d_H(B,C) < δ، آن اه واضح است که
CA ⊆ N⊆ N((C,δA,δ ++δδ_′^′₎)_.,
در نتیجه طبق تعریف متر هاسدورف داریم ′d_H(A,C) ≤ δ + δ، و این ایجاب م کند که
d_H(A,C) ⩽ d_H(A,B) + d_H(B,C).
گزاره ٣.٢.۶. اگر _(X,d) ی فضای متری کامل و  ی دنباله کش درX باشد برای هرN ∈ N دنبالهxn}n≥N } وجود دارد بهطوریکه