که این ی تناقض م باشد. لذاx منحصر بفرد است.
٢.٣ سیستمهای ت رار توابع
در این بخش به بررس سیستمهای که توسط چند ن اشت بهوجود م آیند م پردازیم که به این سیستمها، سیستمهایت رار توابع م گویند.
تعریف ٣.٢.١. فرض کنید (X,d) ی فضای متری و {F = {f1,f2,…,fk ی مجموعهی متناه از ن اشتهایرویX باشد. نیمگروه تولید شده توسطF تحت عمل ترکیب توابع، که آنرا با نماد +>F < نمایش م دهیم، رادر نظر ب یرید
< F >+= {h : X → X;h = fino…ofi1 ; ij ∈ {۱,۲,…,k}} ∪ {id : X → X}.
سیستم ت رار توابع تولید شده توسطF که به اختصار با (IFS(X,F نمایش داده م شود، چیزی جز عمل نیمگروه+>F < روی مجموعهX نم باشد. درصورت که ن اشتهای {f1,f2,…,fk} انقباض باشند سیستم ت رار توابعتولید شده توسط آنها را سیستم ت رار توابع انقباض م نامیم.
با بهرهگیری از مفاهیم دینامی نمادین برای یω ∈ Σ+k که …ω = ω۱ω۲ω۳…ωn قرار م دهیم
fwn := fwno…ofw1.
که ۱
fω(x) = fω۱(x), fω۲(x) = fω۲ofω۱(x),
…
fωs(x) = fωso…ofω۱(x).
بنابراین برای هرω ∈ Σ+k و هرn ∈ N با توجه به تعریف نیمگروه داریم .
لازم به ذکر است که +>nlim→∞ fωn ∈/< F .
تعریف ٣.٢.٢. مجموعهی {S = {S1,…,Sk از ن اشتهای انقباض رویX را در نظر ب یرید. مجموعهی ناتهو فشردهA درX را ی مجموعه پایا برای (IFS(X,S گوییم هرگاه .
تعریف ٣.٢.٣. مجموعهی {S = {S1,…,Sk از ن اشتهای انقباض رویX را در نظر ب یرید. مجموعهی ناتهو فشردهA درX را ی جاذب برای (IFS(X,S گوییم هرگاه
,
که در اینجا
dH(fωn(x),A) = ainfA{d(fωn(x),a)}.
∈
یادآوری ٣.٢.۴. فرض کنید (X,d) ی فضای متری و (K(X مجموعهی تمام زیرمجموعههای بسته، کراندار وناته ازX باشد. یδ – همسای از (A ∈ K(X را بهصورت زیر تعریف م کنیم
N(A,δ) = {x ∈ X : ∃a ∈ A s.t. d(x,a) < δ},
بههمین طریق، اگر (A,B ∈ K(X آن اه
dH(A,B) = inf{δ : A ⊆ N(B,δ) ∧ B ⊆ N(A,δ)}.
گزاره ٣.٢.۵.dH ی متر روی فضای (K(X م باشد که به متر هاسدورف [۱۳] مشهور است.
برهان. شرایط متر را برایdH بررس م کنیم.
برای هر (A,B ∈ K(X اگرA = B باشد، آن اه بدیه است که ۰=(dH(A,B. از طرف دی ر فرض م کنیم
dH(A,B) = 0 ⇒ inf{δ : A ⊆ N(B,δ) ∧ B ⊆ N(A,δ)} = ۰.
بنابراین برای هرn ، داریم . پس برای هرx ∈ A ، م توانیمxn ∈ B را طوری انتخاب کنیم که . چونB ی مجموعه بسته است لذاx ∈ B . در نتیجهA ⊆ B . به روش مشابه م توان نشان داد
.B ⊆ A که
نشان م دهیم (dH(A,B) = dH(B,A. طبق تعریف متر هاسدورف داریم
d A,B { A ⊆ N B,δ B ⊆ N A,δ }
٣.٢. سیستمهای ت رار توابع
فرض م کنیم (C ∈ K(X، نشان م دهیم (dH(A,C) ⩽ dH(A,B) + dH(B,C. برای این منظور فرض
م کنیم که اگرdH(A,B) < δ و ′dH(B,C) < δ، آن اه واضح است که
CA ⊆ N⊆ N((C,δA,δ ++δδ′′)).,
در نتیجه طبق تعریف متر هاسدورف داریم ′dH(A,C) ≤ δ + δ، و این ایجاب م کند که
dH(A,C) ⩽ dH(A,B) + dH(B,C).
گزاره ٣.٢.۶. اگر (X,d) ی فضای متری کامل و ی دنباله کش درX باشد برای هرN ∈ N دنبالهxn}n≥N } وجود دارد بهطوریکه
| برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت fotka.ir مراجعه نمایید. |