١ . ٣ ن اشتهای انقباض
٢ . ٣ سیستمهای ت رار توابع
٣ . ٣ سیستمهای ت رار توابع کمین
۴ . ٣ مجموعههای پایا با درون ناته
در این فصل به معرف ن اشتهای انقباض و سیستمهای ت رار توابع انقباض ، ویژگ ها و قضایای پیرامون آنهام پردازیم. آنچه در این فصل بیان م گردد، پایهای اصل برای مطالب ارائه شده در فصل بعدی است. مطالب اینفصل عموماًً برگرفته از [۴] و [١٣] م باشد.

دانلود متن کامل پایان نامه در سایت jemo.ir موجود است

١.٣ ن اشتهای انقباض

تعریف ٣.١.١. فرض کنید (X,d) ی فضای متری باشد. ن اشت→ را ی ن اشت انقباض م نامیمهرگاه ۱< λ < ۰، وجود داشته باشد بهطوریکه برای هرx,y ∈ ،
d(f(x),f(y)) < λd(x,y).
گزاره ٣.١.٢. هر ن اشت انقباض ی ن اشت پیوسته است.
برهان. فرض کنید (: (X,d) → (X,d ی ن اشت انقباض روی فضای متری (X,d) باشد. همچنین فرضکنید∈ عضو دلخواه باشد و ۰ε > داده شده باشد. برای نشان دادن پیوست ن اشتکافیستδ ε قرار دهیم. زیرا اگرx,y ∈ بهطوریکهd(x,y< δ باشد، آن اه با توجه به انقباض بودن تابعداریم
d(f(x),f(y)) < λd(x,y< δ ε.
همچنین م توان گزاره فوق را برای حالت پیوست بهطور ی نواخت نیز بیان کرد.
نتیجه ٣.١.٣. هر ن اشت انقباض بهطور ی نواخت پیوسته است.
برهان. فرض کنید (: (X,d) → (X,d ی ن اشت انقباض روی فضای متری (X,d) باشد. همچنین فرضکنید ۰ε > داده شده باشد. برای اثبات پیوست ن اشتکافیستε δ قرار دهیم. زیرا اگرx,y ∈ دو
عضو دلخواه ازباشند بهطوریکهd(x,y< δ باشد آن اه با توجه به انقباض بودن ن اشتداریم
d(f(x),f(y)) < λd(x,y< d(x,y< δ ε.
قضیه ٣.١.۴. (قضیه نقطه ثابت باناخ )هرگاه (X,d) ی فضای متری تام وf → X ی ن اشت انقباض
باشد، آن اه ی و فقط یx ∈ X موجود م باشد بهطوریکه.f(x) = x
برهان. برای اثبات قضیهx∈ را بهدلخواه اختیار م کنیم. دنبالهی  را بهطور بازگشت بهصورت زیرتعریف م کنیم
xn+1 f(xn) ; = ۰,۱,۲,۳,…
چونن اشت انقباض م باشد، پس ۱< λ < ۰ وجود دارد بهطوریکه
x,y ∈ d(f(x),f(y)) < λd(x,y),
٣.٢. سیستمهای ت رار توابع
در اینصورت برای هر ۱ ⩾داریم
d(xn+1,xn) = d(f(xn),f(x۱)) < λd(xn,x۱).
− −
با استفاده از استقرا م توانیم نتیجه ب یریم که
d(xn+1,xn< λnd(x1,x0).
اکنون فرض م کنیمn < m باشد، با استفاده از نامساوی مثلث نتیجهی زیر را به دست م آوریم
۱ ۰ ,
− ۱
زمان که  ی دنبالهی کش م باشد. از طرف م دانیم کهفضای تام است. پس∈ وجود دارد بهطوریکهx→ . بنابراین م توان نوشت
lim xx.
∞→nچونی ن اشت پیوسته رویم باشد، پس
f(x) = lim f(xn) = lim xn+1 x,
n→∞ n→∞
بنابراینی نقطه ثابت برای ن اشت انقباضم باشد. برای نشان دادن ی تای نقطهاز فرض خلف استفاده
م کنیم. فرض م کنیمx,y ∈ وجود داشته باشند بهطوریکهf(x) = وf(y) = آن اه
d(x,y) = d(f(x),f(y)) < λd(x,y< d(x,y).

این نوشته را هم بخوانید :   علمی :آنالیز شاخص های اقتصادی و انرژی در تولید محصولات گلخانه ای استان ...