که در آن ۰H عملگر انرژی مربوط به ذرات آزاد است :
بطوریکه و به ترتیب اندازه حرکت و جرم ذره است. در نبود پتانسیل (x)Vراه حل هامیلتونی را میتوان بعنوان حالت ذرات آزاد بصورت زیر نوشت :
این حالت انرژی ذرات آزاد را میتوان بعنوان تابع موج بصورت <Ф| در نظر گرفت.
معادله شرودینگر کامل بصورت زیر است :
حالت انرژی H در تعریف حد که در آن پتانسیل از بین میرود. ( O→) باید داشته باشیم ، که در آن <Ф| و <Ψ| حالت هایی با انرژی یکسان هستند.
راه حل ممکن عبارت است از :
با ضرب ( ۰H – E) میتوان نشان داد که با تعاریف مطابقت دارد. با این حال مشکل از عملگر است.
رفتار منحصر به فرد در رابطه (۱-۵) را میتوان با در دست داشتن ، کمی پیچیده ثابت کرد:
این معادله لیپمن _ شرودینگر[۹] است که باید تحلیل شود.
١۲-١- دامنه پراکندگی
برای محاسبه دامنه پراکندگی باید از پرتوهای دریافتی (تقریبا) حالت انرژی حرکت استفاده نماییم که در آن V تابع موقعیت است. اگر ویژه حالت برای یک ذره ساکن باشد، پس تابع را میتوان بصورت زیر نوشت :
با ضرب درمعادله (١-۶) و استفاده از عملگر یکه داریم ( ) خواهیم داشت :
راه حلی برای تابع تعریف شده از طریق تابع گرین وجود دارد :
بطوری که
با استفاده از این نتیجه میتوان دید که دامنه بصورت زیر به دست میآید :
با فرض آنکه پتانسیل مشترک به این معنا که میتوان آن را به عنوان داخلی پنداشت، بدین صورت نوشته شده است :
تابع موج (١-١۲) مجموع دو جمله است. اولین جمله معرف صفحه ورودی است وابستگی فضایی جمله دوم بصورت است. هم اکنون میتوان با درک معنای فیزیکی ، خروجی امواج کروی (+) و ورودی (-) را در نظر گرفت. ما در خروجی علاقهمند به امواج کروی (+) و آنهایی که از پتانسیل پراکنده شدهاند، هستیم و میخواهیم بدانیم که دامنه موج خروجی در نقطه مطابق شکل (١-١) برای آشکارسازی خیلی دور از مرکز پراکندگی به چه صورت در میآید، بنابراین ممکن است فرض کنیم.
تعریف بردار واحد در جهت نقطه مشاهده با توجه به شکل(١-۲) بصورت زیر میباشد :
 
شکل ۱-٢- مختصات برداری و .
و همچنین بردار موج ذرات متحرک در جهت x مشاهدهگر است :
در فواصل دور از مرکز پراکندگی داریم :
که در آن α زاویه بین و است.
با استفاده از این روابط و جایگزینی آنها در معادله (۱-۱۲) و برای فواصل خیلی دور (بزرگ) خواهیم داشت :
که میتوان نوشت ،
این نشان میدهد که امواج ورودی و خروجی بصورت موج کروی با دامنه پراکندگی بدست میآید
میتوان سطح مقطع پراکندگی در واحد زوایای فضایی و زمان را بر حسب این شارهای فرودی و خروجی تعیین نمود:
دیفرانسیل سطح مقطع برخورد در المان زاویه فضایی بصورت در میآید :
در حقیقت سطح مقطع دیفرانسیلی با مربع دامنه پراکندگی برابر است.
١۲-۲– تقریب بورن
اگر پتانسیل V ضعیف باشد میتوان فرض نمود که تنها با اندکی تغییر حالت انرژی پتانسیل، میتوان را در معادله (۱-۱۹) به جای جایگزین نمود .
بطوریکه بردار موج در فضای مومنتم است. این به عنوان تقریب بورن شناخته شده است. به ازای این تقریب میتوان نتیجه گرفت
این نشاندهنده این است که دامنه پراکندگی با پتانسیل مختل کننده V بین حالتها متناسب است.
با بسط معادله (۱-٢۲) و وارد کردن رابطه یکانی خواهیم داشت:
این نتیجه به ما میگوید که دامنه پراکندگی متناسب با تبدیل فوریه پتانسیل است. حال میتوان dσ/dΩ را بوسیله پراکندگی ذرات اندازه گیری کنیم. برای اطلاع بیشتر به مرجع [۱] مراجعه شود.
۱-٣- انواع روشهای تشخیصی با پدیده پراکندگی
۱-٣-۱– پراکندگی ریلی[۱۰]
پراکندگی ریلی، مربوط به پراکندگی نور در تمام جهتها به وسیله مولکولهای هواست و انرژی فوتونهای پراکنده شده در پراکندگی ریلی ثابت و بدینسان یک پراکندگی کشسان میباشد. به دلیل اینکه دامنه گشتاور دو قطبی الکتریکی با قطبش ذرات و شدت نور تابشی I رابطه دارد، شدت نور پراکنده شده Iاز فرمول زیر بدست میآید:
که در آن α قطبش پذیری،  زاویه پراکندگی، λ طول موج و r فاصله نقطه مشاهده است.این نوع پراکندگی به علت برانگیختگی بعضی از مدهای ارتعاشی مولکولهاست. رابطهی (۱-٢۴) نشان میدهد که مقدار پراکندگی ریلی با توان چهارم طول موج نسبت عکس دارد، همانطور که در شکل (١-٣) ملاحظه میشود، در پراکندگی نور سفید، طول موجهای کوتاهتر مانند آبی (با طول موج تقریبی nm۴۰۰) تقریبا ۹ برابر نور قرمز (با طول موج تقریبی nm۷۰۰ ) در آسمان پراکنده میشود.
شکل ١-٣- به ازای شدت یکسان نور فرودی، پراکندگی نور با طول موج nm۴٠٠،
۴/۹ برابر نور با طول موج nm٧٠٠ است.

این نوشته را هم بخوانید :   همیومورفیسم فراکتالی برای سیستم های تکرار توابع- قسمت ۱۰

برای دانلود متن کامل این پایان نامه به سایت  pipaf.ir  مراجعه نمایید.