مقاله درباره t^*، e^st، جایگذاری، μ_ij

دانلود پایان نامه

(l/a)▒□(24&ψ_j (x) ψ_i (x)dx)
(3-64)
μ_ji=ηcoshβ_i ∫_0^(l/a)▒〖ψ_j (x) 〗 cosλ_i xdx
(3-65)
Ψ_ji=η∫_0^(l/a)▒〖ψ_j (x) 〗 cosλ_i xdx
(3-66)
F_e=φ∫_0^(l/a)▒〖(V_dc/(1-∑_(i=1)^∞▒〖q_i (t)ψ_i (x) 〗))^2 ψ_j (x) 〗 dx

3-5حل مقدار ویژه سیستم (ارتعاشات آزاد)
در معادلات بدست آمده (3-55), (3-56) و (3-61) که بفرم ODE همگن يا مسئله مقدار ويژه می باشند با فرض صرفنظر از ترم ارتعاشات اجباری(F_e)، سه مجهول E(t),A(t)و q(t) را می توان بفرم هارمونیک 〖 q〗_i (t)=q ̅_i e^st ,A_i (t)=A ̅_i e^st ,E_i=( E) ̅_i e^st تعريف نمود. در اين صورت مسئله بفرم استاندارد زير در خواهد آمد.

(3-67)
e^st [■(∑_(i=1)^∞▒〖H_2 H_1^2 〗 α_ji.s&(1/2)β_j t^* [sinh⁡〖β_j 〗 ]&∑_(i=1)^∞▒〖H_1 t^* γ_i μ_ij [tanh⁡〖γ_i 〗 ] 〗@∑_(i=1)^∞▒〖H_2 H〗_1^2 α_ji.s&-∑_(i=1)^∞▒〖〖H_2 t^* β〗_i μ_ij [sinh⁡〖β_i 〗 ] 〗&-(1/2)γ_j [tanh⁡〖γ_j 〗 ]@k_jj+m_jj.s^2&-∑_(i=1)^∞▒μ_ji .s&∑_(i=1)^∞▒Ψ_ji .s)]
*[■((q_i ) ̅@(A_i ) ̅@(E_i ) ̅ )]=0
(3-68)
e^st [X][V]=0
کهs اشاره به مقادير ويژه سیستم کوپل شده و [V]بردارهای ويژه مربوط به ماتریس [X] می باشد. از آنجاییکه سه معادله مذکور بصورت وابسته خطی با هم در ارتباطند لذا برای حل بدیهی سیستم باید دترمینان ماتریس [X] برابر صفر شود.
(3-69)
〖det 〗⁡〖[X]=0〗

که ریشه های معادله بالا با پیروی ازرابطه زیر، مشخص کننده فرکانسهای طبیعی سیستم کوپل می باشد.
(3-70)
s_j=iω_j, i=√(-1)

با جایگذاری هر کدام از فرکانسهای طبیعی بدست آمده در رابطه(3-67)، بردارهای ویژه85 مربوط به آن فرکانس طبیعی بدست می آید و شکل مدهایتعمیم یافته86 تیر در حالتهای خشک و خیس از فرمول زیر بدست می آیند.
(3-71)
〖ψ_i〗^m (x)=∑_(n=1)^N▒〖q_in ψ_i (x)〗
جاییکه q_in بیانگر iامین ضریب میکروتیر است که با جایگذاری nامین فرکانس طبیعی در معادله مشخصه بدست می آید.
بعلاوه با جایگذاری بردارهای ویژه بدست آمده در معادلات (3-46)و(3-51) این امکان فراهم می شود که
الگوهای رفتار سیال در مدهای گوناگون با بهره جستن از روابط (3-24) و (3-24) بدست آید.

3-6 روابط جرم افزوده87
برای اینکه تاثیر سیال برمشخصه هایفرکانسی و ارتعاشی سیستم کوپل را بصورت صریح بیان نشان دهیم،معادلات (3-55), (3-56) و (3-61) را بفرمماتریسی زیر بازنویسی می کنیم .

(3-72)
[C]{A}=-[D]{q ̇}-[F]{E}
(3-73)
-[G]{E}=-[D]{q ̇ }+[R]{A}
(3-74)
[K]{q}+[M]{q ̈ }=[L]{A ̇ }-[J]{E ̇ }+F_e

جاییکه ماتریسهای فوق بصورت ذیل تعریف می شوند:
(3-75)
D_ij=〖H_2 H_1^2 α〗_ij
(3-76)
R_ij=〖H_2 t^* β〗_i μ_ij sinh⁡〖β_i 〗
(3-77)
C_ii=β_i (1/2) t^* sinh(β_i)
(3-78)
F_ij=μ_ij γ_j H_1 t^* tanh(γ_j)
(3-79)
G_ii=(1/2)γ_j E_j (t) tanh⁡〖γ_j 〗

حال اگرمجهولات {A} و{E}را از دو معادله(3-72)و(3-73) برحسب مجهولq}} بیابیم و نتیجه را در معادله (3-74) جایگذاری کنیم به رابطه(3-80) می رسیم

(3-80)
[K]{q}+[M+M’+M”]{q ̈ }=F_e

جاییکه M’ و M” معرف جرم افزوده سیال در نواحی 1و 2 است و بصورت زیرتعریف می شوند.

(3-81)
M´=-LC^(-1) (-D-F〖((-G+RC^(-1) F)〗^(-1) (-D+RC^(-1) (-D)))
(3-82)
M”= J(-G+RC^(-1) F)^(-1) (-D+RC^(-1) (-D))

همانطور که در معادلات مشخص است تاثیر جرم افزوده سیال در دو قسمت محفظه بطور مجزا در معادلات ظاهر گردیده است و لذا به وضوح می توان دریافت که حضور سیال باعث کاهش فرکانسهای طبیعی سیستم خواهد شد.
از آنجاییکه محرکهای الکترو استاتیک ذاتا غیر خطی هستند و این غیر خطی بودن ناشی از نیروی الکترواستاتیکی است که متناسب با جذر وارونی از فاصله میکروتیر با الکترود ثابت می باشد،لذا برای حل آن باید آنرا بصورت معادله دیفرانسیل معمولی غیر خطی از مرتبه 1 بازنویسی کرد
(3-83)
v ̇=F(v)
این معادله بصورت عددی با روش رانک کوتا88 مرتبه 4 قابل حل می باشد ،جاییکه بردارv(t)بصورت زیر می باشد. و در کار حاضر از شرایط اولیه v(0)=0 با اعمال ولتاژ بصورت آنی استفاده شده است.

(3-84)
v_i=q_i , v_(n+i)=q ̇_i , i=1,2,…,n

دیدگاهتان را بنویسید