مقاله درباره هیدرولیک، دینامیکی

دو الکترود جهت تحریک الکترواستاتیکی سیستم در نظر گرفته شده است. موقعیکه ولتاژ مابین این دو نقطه اعمال شود، میکرو تیر به سمت ناحیه الکترواستاتیکی کشیده می شود. اين ولتاژ مي تواند به آرامي و يا به صورت آني اعمال گردد، در هر دو حالت موقعیکه ولتاژ به مقدار معینی می رسد میکرو تیر ناگهان به سمت ناحیه الکترواستاتیکی(ثابت) کشیده می شود و در این موقع ناپایداری73 یا پدیده pull-in74 اتفاق می افتد.ابتدا معادلات حاکم تحت تحریک الکترواستاتیک بدست می آیند سپس با صرف نظر از نیروی تحریکالکترواستاتیک، پاسخ سیستم را در دو حالت ارتعاشات آزاد و اجباری مورد بررسی قرار می دهیم. در نهایت معادلات دینامیکی پاسخ گذرای سیستم در برابر اعمال ولتاژ آنی به دست می آیند.
طول میکروتیر l بوده و طول محفظه با پارامتر a نشان داده شده است. پارامترهای مربوط به سيال قسمت پایین تير با زیرنویس 1 و ناحیه بالای بالای تير با زیرنویس 2 متمایز شده اند.

شکل 3-1) طرح اجمالی از ميکروتير و محفظه سيال مورد نظر.

3-2 مدلسازي رياضي براي محركهاي ميكروالكترومكانيكي الكترواستاتيكي
با فرض تير اويلر برنولی و در نظر گرفتن اثرات سيال مجاور بفرم فشار روی تير و همچنین نیروی الکترواستاتیکی ،معادله حاکم بر سيستم بفرم زير خواهد بود.

(3-1)
EI (∂^4 w ̂)/(∂x ̂^4 )+ρ_b hb (∂^2 w ̂)/(∂t ̂^2 )=b(P_2-P_1 )+(kε_0 b)/2 (V/(H_1-w ̂(x ̂,t ̂ ) ))^2

جاييکه ρ_b , h, b و w بترتيب معرف چگالی75, ضخامت پهنا و جابجائی عرضی تير می باشند.I ممان اینرسی تیر است و k ضریب ثابت دی الکتریک76 سیال و ε_0 ثابت دی الکتریک خلا 77می باشد و برابر (ε_0 =8.85 e-12 F/m) است. Eمدول الاستیسیته تیر است و وابسته به نسبت ارتفاع و عرض تیر استکهاگررابطه برقرار باشد ،تیر از شرایط کرنش صفحه ای78 پیروی کرده و جایگزین E خواهد شد اما اگرنسبت برقرار باشد آنگاه تیر از شرایط تنش صفحه ای79 پیروی کرده و همان E در معادله (3-1) مورد استفاده قرار خواهد گرفت.
در رابطه (3-1)P_1 و P_2 نشان دهنده فشارهای اعمالی از طرف سيال قسمت پايين و بالا به ميکروتير مورد نظر می باشند.
برای سادگی حل معادلات، پارامترهای بی بعد زیر را در نظر می گیریم:
(3-2)
x=x ̂/a, w=w ̂/H_1 , y_1=y ̂_1/H_1 , y_2=y ̂_2/H_2 , t=t ̂/t^*
که با اعمال پارامترهای بی بعد فوق معادله (3-1) بصورت زیر بازنویسی می شود

(3-3)
(∂^4 w)/(∂x^4 )+(∂^2 w)/(∂t^2 )=(a^4.b)/(EI〖.H〗_1 ) 〖(P_2-P〗_1) + φ(V_dc/(1-w))^2
جاييکه در معادلات بدست آمده ضرايب φ و t^* بفرم زير می باشند.
(3-4)
t^*=√((ρ_b bha^4)/EI)
(3-5)
φ=(〖a^4 kε〗_0 b)/(2EIH_1^3 )
با فرض مشخص بودن فشارهای اعمالی از طرف سيال به سازه جواب معادله (3) را می توان بفرم زير فرض نمود که نشان دهنده اینست که جابجایی عرضی تیر بصورت ترکیبی از مودهای تیر در خلاء شامل ترمهای زمانی و مکانیاست.
(3-6)
w(x,t)=∑_(i=1)^∞▒〖q_i (t) 〗 ψ_i (x)
جاييکه q_n (t) ها بعنوان مختصات تعميم يافته و مجهول مسئله بوده و ψ_n (x ̂ ) ها توابع شکل مربوط به تير در خلاء می باشد.
برای اینکه توابع شکل تیر رابدست آوریم ،با فرض جابجایی عرضی تیر به دو قسمت مکانی و زمانی و با روش حل جداسازی متغیرها توابع شکل مربوط به همه تیرها در خلاء80 بدست می آید.

(3-7)
ψ(x ̂ )=c_1 sinβx ̂+c_2 cosβx ̂+c_3 sinhβx ̂+c_4 coshβx ̂

که در اینجا β برابر β^4=(ω/c)^2= (ρω^2)/EI می باشد و می توا ند بصورت
(3-8)
(ω_Dry )_n=(β_n l)^2 √(EI⁄(ρ_b l^4 ))
بازنویسی شود. جاییکه(ω_Dry )_n بیانگر فرکانسهای تیر در خلاء (تیر خشک)81 است.
ψ_n (x) با توجه به شرايط مرزی تير یکسر گیردار بترتیب برای ابتدا و انتهای تیر باید شرایط مرزی زیر را ارضا کند.
(3-9)
├ ψ┤|_(x ̂=0)=0
(3-10)
├ ∂ψ/(∂x ̂ )┤|_(x ̂=0)=0
(3-11)
├ (∂^2 ψ)/(∂x ̂^2 )┤|_(x ̂=l)=0
(3-12)
├ (∂^3 ψ)/(∂x ̂^3 )┤|_(x ̂=l)=0

که این شرایط مرزی مشخص بوده و در مراجع موجود می باشند [37]که بترتیب بیانگر صفر بودن خیز و شیب در ابتدای تیر و صفر بودن گشتاور و برش در انتهای تیر می باشد.
برای اینکه ضرایب ثابت موجود در رابطه (3-7) را محاسبه نماییم،شرایط مرزی تیر را اعمال می کنیم.

(3-13)
ψ(x ̂ ) ⃒_(x ̂=0)=0 ⟹ c_2+c_4=0
(3-14)
∂ψ/(∂x ̂ ) ⃒_(x ̂=0) ⟹ β(c_1+c_3 )=0

با اعمال شرایط مرزی در ابتدای تیر ،معادله (3-7) به معادله (3-15)کاهش می یابد

(3-15)
ψ(x ̂ )=c_1 ( sinβx ̂- sinhβx ̂ )+c_2 (cosβx ̂-coshβx ̂)

با اعمال شرایط مرزی در انتهای تیر ضرایب ثابت باقی مانده نیز مشخص خواهد شد.
(3-16)
(d^2 ψ)/(∂x ̂^2 ) ⃒_(x ̂=l) =0 ⟹c_1 ( sinβl+ sinhβl)+c_2 (cosβl+coshβl)=0
(3-17)
(d^3 ψ)/(∂x ̂^3 ) ⃒_(x ̂=l) =0 ⟹c_1 (cosβl+coshβl)-c_2 (sinβl- sinhβl)=0
با جایگذاری نتایج حاصل از اعمال روابط بالا به رابطه زیر می رسیم که بیانگر تابع شکل تیر یکسر گیردار می باشد.

(3-18)
ψ_n (x ̂ )=A_n [( sinβ_n l-sinhβ_n l). ( sinβ_n x ̂-sinhβ_n x ̂ )+(cosβ_n l+ coshβ_n l). (cosβ_n x ̂-coshβ_n x ̂ )]
جاییکه
(3-19)
A_n=c_1/(sinβl-sinhβl)

(3-20)
cosβl. coshβl=-1

β_n lها مقادیر ویژه این معادله هستند که برای تعیین آن باید دترمینان روابط (3-16)و(3-17)برابر صفر قرار گیرد که نتیجه آن معادله مشخصه (3-20) خواهد بود که ریشه های این معادله مشخصه بیانگرβ_n l های معادله تیر یکسر گیردار می باشند.از آنجاییکه معادله مشخصه بالا معادله ای است که حل تحلیلی ندارد لذا به روش ترسیمی محل تقریبی ریشه ها را با سعی و خطا و با دقت دلخواه محاسبه کرد که ده ریشه اول در جدول 3-1 لیست شده است.

جدول 3-1) ریشه های معادله مشخصه تیر یکسرگیردار
β_n l
n
β_n l
n
17.2789
6
1.8751
1
20.4203
7
4.6940
2
23.5620
8
7.8548
3
26.7036
9
10.9955
4
29.8453
10
14.1372
5

با اعمال روابط بی بعد (3-2) در معادله (3-18)،فرم بی بعد تابع شکل تیر یکسرگیردار بصورت زیر بازنویسی می شود.
(3-21)
ψ_n (x)=[( sinβ_n l-sinhβ_n l). ( sinβ_n x-sinhβ_n x)+(cosβ_n l+ coshβ_n l). (cosβ_n x-coshβ_n x)]

3-3فرمولبندی برای ارتعاشات سیال
با بکار گيری معادلات برنولی فشارهای هيدروديناميکی وارده بر ميکرو تير را می توان بفرم زير نوشت.

(3-22)
P_1=-ρ_f/t^* ├ (∂ϕ_1)/∂t┤|_(y_1=1)
(3-23)
P_2=-ρ_f/t^* ├ (∂ϕ_2)/∂t┤|_(y_2=0)
جاییکه ϕ_1 و ϕ_2 بترتیب بیانگر توابع پتانسیل سیال در نواحی 1 و 2 و ρ_f دانسیته سیال است.
و رابطه بین تابع پتانسیل سیال با بردارهای سرعت در جهت y,xدر نقاط مختلف مخزن بشکل زیر تعریف می شود.
(3-24)
V_x=(∂∅)/∂x
(3-25)
V_y=(∂∅)/∂y
از طرفی با فرض اینکه جریان سيال تراکم ناپذير و غير ويسکوز و غیر چرخشی است معادله پیوستگی
به صورت زیر ساده می شود
(3-26)
(∂V_x)/∂x+(∂V_y)/∂y=0

با جایگذاری روابط بین سرعت و تابع پتانسیل سیال در معادله پیوستگیبه رابطه زیر می رسیم که بیانگر صفر بودن لاپلاسین تابع پتانسیل سیال82است.
(3-27)
(∂^2∅)/(∂x^2 )+(∂^2∅)/(∂y^2 )=0

برای اینکه مایع پیوستگی خود را حفظ کند تابع پتانسیل سیال باید معادله لاپلاسین را ارضا کند لذا معادلات مربوط به توابع پتانسيل سيال در دو سمت تير را می توان بفرم زير نوشت.

∇^2 ϕ_1 (x,y_1,t)=0
0x1, 0y_11
(3-28)
∇^2 ϕ_2 (x,y_2,t)=0
0x1, 0y_21
(3-29)

با حل معادلات (3-28)و(3-29) و بکار گيری معادله برنولی83 می توان فشارهای اعمالی از سيال به تير را محاسبه نمود. برای حل معادلات فوق می بايست شرايط مرزی مربوط به هرقسمت سيال به معادله مربوطه اعمال گردد. بنابراين برای حل معادله (3-28) شرايط مرزی
(3-30)
├ (∂ϕ_1)/∂x┤|_(x=0, 1)=0
(3-31)
├ (∂ϕ_1)/(∂y_1 )┤|_(y_1=0)=0
(3-32)
〖1/H_1 ├ (∂ϕ_1)/(∂y_1 )┤|〗_(y_1=1)={█(-H_1/t^* ∂w/∂t 0xl/[email protected]/H_2 ├ (∂ϕ_2)/(∂y_2 )┤|_(y_2=0) l/ax1)┤

و برای حل معادله (3-29)شرايط مرزی
(3-33)
├ (∂ϕ_2)/∂x┤|_(x=0, 1)=0
(3-34)
├ (∂ϕ_2)/(∂y_2 )┤|_(y_2=1)=0
(3-35)
├ 1/H_2 (∂ϕ_2)/(∂y_2 )┤|_(y_2=0)={█(-H_1/t^* ∂w/∂t 0xl/[email protected]/H_1 ├ (∂ϕ_1)/(∂y_1 )┤|_(y_1=1) l/axa)┤

مورد استفاده قرار می گیرند.روابط (3-30)، (3-31)، (3-33)، (3-34)بیانگر صفر بودن سرعت سیال در جداره های مخزن است که ناشی از خاصیت نفوذ ناپذیری سیال در جداره ها استو روابط (3-32)، (3-35)بعنوان شرايط سازگاری سيال و تير هستند(سرعت دیواره باید با سرعت مایع مجاور آن در مخزن برابر باشد).
برای حل معادلات (3-28) روش جداسازی متغیرها بکار گرفته می شود،بداینصورت که تابع پتانسیل به شکل حاصلضرب دو تابع جداگانه در جهت x, y تجزیه می شود.

(3-36)
Φ_1 (x,y)=Φ_1 (x).Φ_1 (y_1 )

این تابع را در فرم بی بعد معادله(3-28) جایگذاری کرده و برای اینکه پاسخ سیستم در جهت x هارمونیک باشد (برای حل بدیهی سیسستم)ضریب ثابت k رابرابر k=-λ^2در نظر می گیریم.

(3-37)
〖Φ_1 (x)〗^”/(Φ_1 (x) )=-(a/H_1 )^2 〖Φ_1 (y_1 )〗^”/(Φ_1 (y_1 ) )=k=-λ^2
که حل عمومی معادله بالا در جهت x بصورت زیر خواهد بود.

(3-38)
〖Φ_1 (x)〗^”+λ^2 Φ_1 (x)=0 ↠ Φ_1 (x) =Acosλx+Bsinλx

حال با مشخص شدن حل عمومی تابع پتانسیل سیال در جهت x ،میتوان شرایط مرزی (3-30) را به معادله (3-38) اعمال کرد و ضرایب مجهول در این معادله را مشخص نمود.

(3-39)
Φ_1′(0)=0 ⟹ B=0
(3-40)
Φ_1′(1)=0 ⟹ λ_n=nπ

که با جایگذاری این نتایج در معادله (3-38) به معادله ساده شده (3-41) می رسیم

(3-41)
Φ_1 (x)=Acosλ_n x

حال اگر همین روند را در جهت y1 انجام دهیم و شرایط مرزی(3-31)را به معادله (3-42) اعمال کنیمضرایب ثابت موجود دراین معادله مشخص شده و تابع پتانسیل سیال در ناحیه 1 در جهت y تعیین می شود.
(3-42)
Φ_1 “(y_1 )-(a/H_1 )^2 λ^2 Φ_1 (y_1 )=0
〖⟹ Φ〗_1 (y_1 )=Csinh βy_1+Dcosh βy_1
(3-43)
Φ_1′(y_1 )=0 ⟹ C=0
(3-44)
Φ_1 (y_1 )=D cosh〖 β〗_n y_1
جاییکه β_n بصورت زیر تعریف می شود.
(3-45)
〖 β〗_n=nπa/H_1

با ادغام (3-41)و(3-44)، تابع پتانسیل سیال در ناحیه1 بصورت زیر استخراج می شود .
(3-46)
ϕ_1 (x,y_1,t)=∑_( n=1)^∞▒〖A_( i) (t)〗 cos⁡〖λ_i x〗 cosh⁡〖β_i y_1 〗

جاییکه A_n (t) حاصلضرب ضرایب ثابت D,Aبوده و بعنوان تنها ضریب مجهول باقی مانده در این معادله محسوب می شود.
برای تعیین تابع پتانسیل در ناحیه 2 همین روند را برای ناحیه 2 تکرار کنیم بداین ترتیب که ابتدا تابع پتانسیل سیال را در دو جهت x, y جداساری کرده و آنرا در فرم بی بعد معادله(3-29) جایگذاری می کنیم که با حل آن در دو جهت y ,xو اعمال شرایط مرزی(3-33)و(3-34)بترتیب در جهتهای y ,x تابع پتانسیل سیال در ناحیه 2 بصورت جداسازی شده در جهتهای y ,x بدست می آید.

(3-47)
Φ_2 (x,y_2 )=Φ_2 (x).Φ_2 (y_2 )
(3-48)
Φ_2 (x,y_2 )=Φ_2 (x).Φ_2 (y_2 )
(3-49)
Φ_2 (x)=E cosλ_n x
(3-50)
Φ_2 (y_2 )=Fcosh〖λy〗_2+(-(Fsinh〖λH〗_2)/(coshλH_2 ))sinh〖λy〗_2

با ترکیب روابط (3-49)و(3-50) تابع پتانسیل سیال در ناحیه 2 بصورت زیر استخراج می شود.
(3-51)
ϕ_2 (x,y_2,t)=∑_(i=1)^∞▒〖E_i (t)〗 cos⁡〖λ_i x〗 [cosh⁡〖γ_i y_2 〗-tanh⁡〖γ_i 〗 sinh⁡〖γ_i y_2 〗 ]
جاییکه γ_n بصورت زیر تعریف می شود.
(3-52)
γ_n=nπa/H_2

و E_n (t) حاصلضرب ضرایب ثابت E,F است و تنها مجهول باقی مانده در این معادله می باشد.
در اين مرحله بمنظور ایجاد ارتباط بین سیال و تیر دو شرط سازگاری(3-32)و (3-35)را اعمال می کنیم.
(3-53)
∑_(i=1)^∞▒〖〖1/H_1 A〗_i (t)〗 β_i cos⁡〖λ_i x〗 sinh⁡〖β_i 〗={█(-∑_(i=1)^∞▒〖〖H_1/t^* q ̇〗_i (t) 〗 ψ_i (x)
0xl/[email protected]∑_(i=1)^∞▒〖〖1/H_2 E〗_i (t)〗 λ_i cos⁡〖λ_i x〗 [-tanh⁡〖γ_i 〗 ] l/ax1)┤
(3-54)
-∑_(i=1)^∞▒〖〖1/H_2 E〗_i (t)〗 γ_i cos⁡〖λ_i x〗 tanh⁡〖γ_i 〗={█(-∑_(i=1)^∞▒〖〖H_1/t^* q ̇〗_i (t) 〗 ψ_i (x) 0xl/[email protected]∑_(i=1)^∞▒〖〖1/H_1 A〗_i (t)〗 β_i cos⁡〖λ_i x〗 sinh⁡〖β_i 〗 lxa)┤
سپس برای استفاده از تعامد84 توابع شکل سيال در جهت x، با ضرب طرفین معادلات در cos⁡〖λ_j x〗 و انتگرال گیری در بازه 0x1می توان به دو معادله ديفرانسيل بر حسب سه مجهول q_i (t) , A_i (t) و E_i (t) بفرم زير رسيد.

(3-55)
(1/2)β_j A_j (t) t^* [sinh⁡〖β_j 〗 ]=-∑_(i=1)^∞▒〖〖H_2 H_1^2 q ̇〗_i (t) 〗 α_ji-∑_(i=1)^∞▒〖E_i (t) 〗 H_1 t^* γ_i μ_ij [tanh⁡〖γ_i 〗 ]
(3-56)
-(1/2)γ_j E_j (t)[tanh⁡〖γ_j 〗 ]=-∑_(i=1)^∞▒〖H_1^2.H_2 q ̇_i (t) 〗 α_ji+∑_(i=1)^∞▒〖A_i (t) 〗 〖H_2 t^* β〗_i μ_ij [sinh⁡〖β_i 〗 ]
جاییکه ضرایب μ_ji و α_ji بصورت زیر تعریف می شوند
(3-57)
α_ji=∫_0^(l/a)▒cos⁡〖λ_j x〗 ψ_i (x)dx
(3-58)
μ_ji=∫_(l/a)^1▒cos⁡〖λ_j x〗 cos⁡〖λ_i x〗 dx

3-4ارتعاشات کوپل شده سیستم
با مشخص شدن توابع پتانسیل سیال در نواحی 1و2 ،با بکارگیری معادلات برنولی میتوان فشار هیدرولیکی سیال وارد بر تیر را تعیین کردلذا با ترکیب روابط (3-22)و(3-23)با (3-46) و(3-51)و جایگذاری نتایج در معادله حرکت تیر و اعمال روش گلرکین به معادله (3-59) می رسیم
(3-59)
∑_(i=1)^∞▒〖q_i (t)〗 〖ψ_i〗^IV (x)+∑_(i=1)^∞▒〖q ̈_i (t)〗 ψ_i (x)=η[∑_(i=1)^∞▒〖A ̇_i (t) 〗 cos⁡〖λ_i x〗 cosh⁡〖β_i 〗-∑_(i=1)^∞▒〖E ̇_i (t) 〗 cos⁡〖λ_i x〗 ]+φ(V_dc/(1-∑_(i=1)^∞▒〖q_i (t)〗 ψ_i (x) ))^2
جاییکه η بصورت زیر تعریف می شود.
(3-60)
η=(a^4 bρ_f)/(EIH_1 t^* )

سپس با استفاده از تعامد شکل تیر در جهت x ،با ضرب طرفین در ψ_j (x) و انتگرال گیری در بازه 0xl/a معادله حرکت تیر بصورت زیر بازنویسی می شود.
(3-61)
∑_(i=1)^∞▒〖〖k_ji q〗_i (t)〗+∑_(i=1)^∞▒〖m_ji q ̈_i (t)〗=∑_(i=1)^∞▒〖〖μ_ji A ̇〗_i (t) 〗-∑_(i=1)^∞▒〖Ψ_ji E ̇_i (t) 〗+F_e
جاییکه ضرایب فوق بصورت زیر تعریف می شوند.
(3-62)
k_ji=∫_0^(l/a)▒〖ψ_i^iv (x) 〗.ψ_j (x)dx
(3-63)
m_ji=∫_0^(l/a)▒□(24&ψ_j (x) ψ_i

دیدگاهتان را بنویسید